球面間の固有関数写像の構成

上野慶介（山形大学）

以下，単位球面 S^{m} には標準的なリーマン計量が入っているものとする．球面から球面への調和写像については次の結果が基本的である．

定理． (Takahashi) φ : S^{m} → S^{n} と包含写像 i : S^{n} → R^{n+1} に対して Φ = i ∘ φ : S^{m} → R^{n+1} とおく．このとき

φ : S^{m} → S^{n}が調和写像 ⟺ Δ_{S^{m}}Φ = 2e(φ)Φ, ∥Φ(x)∥ = 1 (x ∈ S^{m}).

特に， φ : S^{m} → S^{n} のエネルギー密度関数 e(φ) が定数のとき， Φ の各成分は Δ_{S^{m}} の固有関数になる．

定義．写像 φ : S^{m} → S^{n} が固有関数写像であるとは， φ は調和写像であり，かつ，エネルギー密度関数 e(φ) が定数になるときをいう．

Δ_{S^{m}} の固有値は λ_{k} = k(m + k − 1) (k ∈ N) であたえられ， λ_{k} に属する固有関数は R^{m+1} 上の k 次の調和斉次多項式の S^{m} への制限であたえられる．したがって

固有関数写像 φ : S^{m} → S^{n} の構成
⟺ ∑_{i=1}^{n+1} Φ(x)^{2} = ∥x∥^{2k}となる k 次の調和斉次多項式 {Φ_{i}}_{i=1}^{n+1}の組を見つける

なる対応がある．またこのとき，調和斉次多項式の次数を固有関数写像の次数という．

定義． φ : S^{m} → S^{n} が full であるとは， Imφ がどんな (n − 1) 次元球面 S^{n−1} にも含まれないことである．

いま H(m + 1, k) = {R^{m+1} 上の k 次の調和斉次多項式 } とおくとき，

φ : S^{m} → S^{n}が full ⟹ n ≤ dim H(m + 1, k) − 1

とくに dim H(m + 1, 2) = \frac{1}{2}m(m + 3)

以下，次数 2 の固有関数写像の構成法について述べる．固有関数写像の構成について知られている結果のほとんどは，次数が 2 の場合であるが，その理由の１つが次に定義する orthogonal multiplication の存在である．定義． F : R^{p+1} × R^{q+1} → R^{r} が orthogonal multiplication であるとは， F は bilinear map であって

∥F (x, y)∥ = ∥x∥∥y∥ (x ∈ R^{p+1}, y ∈ R^{q+1})

が成り立つこと．

とくに p = q で orthogonal multiplication F : R^{p+1} × R^{p+1} → R^{r} が存在するならば，

φ_{F} (x, y) = (∥x∥^{2} − ∥y∥^{2}, 2F (x, y))

により次数 2 の固有関数写像 φ_{F} : S^{2p+1} → S^{r} が定義される．これを Hopf construction とよぶ．

例． (1) R^{2} = C とみて， F : R^{2} × R^{2} → R^{2} を F (x, y) = xy (x, y ∈ C) で定義する．このとき φ_{F} : S^{3} → S^{2} は Hopf fiber になる．

(2) R^{4} = H とみて， F : R^{4} × R^{4} → R^{4} を F (x, y) = xy (x, y ∈ H) で定義する．このとき φ_{F} : S^{7} → S^{4}.

次に full orthogonal multiplication F : R^{p+1} × R^{q+1} → R^{r} が存在するための必要条件を述べる． p ≤ q とする．

x = (x_{1}, …, x_{p+1}) ∈ R^{p+1}, y = (y_{1}, …, y_{q+1}) ∈ R^{q+1}, a_{ij} ∈ R^{r} を用いて

F (x, y) = ∑_{i=1}^{p+1} ∑_{j=1}^{q+1} a_{ij}x_{i}y_{j}

と表すとき， ∥F (x, y)∥ = ∥x∥∥y∥ から

(∗)  \{ \begin{matrix}⟨a_{ik}, a_{il}⟩ & = & δ_{kl}, \\ ⟨a_{ik}, a_{jk}⟩ & = & δ_{ij}, \\ ⟨a_{ik}, a_{jl}⟩ & + & ⟨a_{il}, a_{jk}⟩ = 0 (i ≠ j, k ≠ l). \end{matrix}

(∗) の上の２つの式から，任意の k_{0} (1 ≤ k_{0} ≤ q +1), あるいは i_{0} (1 ≤ i_{0} ≤ p+1) に対して {a_{ik_{0}}}_{i=1}^{p+1} も {a_{i_{0}k}}_{k=1}^{q+1} も R^{r} の正規直交基底になる．よって q +1 ≤ r. {a_{ij}}_{1≤i≤p+1,1≤j≤q+1} の元の個数（= (p + 1)(q + 1)）が r より小さければ， F の像は {a_{ij}} が張る r より次元の低い線型部分空間に含まれてしまう．よって F が full ならば, r ≤ (p + 1)(q + 1).

したがって p ≤ q のとき F : R^{p+1} × R^{q+1} → R^{r} が full orthogonal multiplication ならば q + 1 ≤ r ≤ (p + 1)(q + 1).

次に Parker([2]) にならって， F : R^{p+1}×R^{q+1} → R^{r} に対して (p+1)(q+1)×(p+1)(q+1) 行列 G(F) を

G(F) := [ \begin{matrix}I_{q+1} & A_{12} & ⋯ & A_{1p+1} \\ A_{21} & I_{q+1} & ⋯ & A_{2p+1} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ A_{p+11} & A_{p+12} & ⋯ & I_{q+1} \end{matrix} ]

で定義する．ただし， A_{ij} は (q + 1) × (q + 1) 行列でその成分は

(A_{ij})_{kl} = ⟨a_{ik}, a_{jl}⟩, 1 ≤ k, l ≤ q + 1.

であたえられるものとする． (∗) の３つ目の式から A_{ji} = −A_{ij} が成り立つことに注意． det G(F) は {a_{ij}} から決まるグラムの行列式に一致するので rank G(F) = r.

とくに p = 1 のとき次の結果が成り立つ．

補題１． full orthogonal multiplication F : R^{2} × R^{q+1} → R^{r} が存在するための必要十分条件は， r が q + 1 ≤ r ≤ 2q + 2 を満たす偶数になることである．

証明． F : R^{2} × R^{q+1} → R^{r} が (full) orthogonal multiplication ならば r が偶数であること．

A = A_{21} とすれば

G(F) = [ \begin{matrix}I_{q+1} & −A \\ A & I_{q+1} \end{matrix} ] .

v (≠ 0) ∈ R^{2q+2} が kerG(F) の元であると仮定する．縦ベクトル v_{1}, v_{2} ∈ R^{q+1} を用いて

v = ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \end{matrix} ) と表せば

v ∈ kerG(F) ⟺ \{ \begin{matrix}v_{1} = Av_{2}, \\ Av_{1} = −v_{2}. \end{matrix}

よって ṽ = ( \begin{matrix}−v_{2} \\ v_{1} \end{matrix} ) とおけば ṽ ∈ kerG(F) であり， v ≠ 0 ならば v と ṽ は１次独立で

ある．したがって kerG(F) は偶数次元になる．よって次元定理から r = rankG(F) は偶数次元である．

r が偶数ならば (full) orthogonal multiplication F : R^{2} × R^{q+1} → R^{r} が存在すること． orthogonal multiplication F_{1} : R^{2} × R^{2} → R^{2}, F_{2} : R^{2} × R^{2} → R^{4} を

\begin{cases}F_{1}(x, y) = (x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}, x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}), \\ F_{2}(x, y) = (x_{1}y_{1}, x_{1}y_{2}, x_{2}y_{1}, x_{2}y_{2}) \end{cases}

で定義する．ただし， x = (x_{1}, x_{2}), y = (y_{1}, y_{2}). F_{1}, F_{2} は full で

∥F_{1}(x, y)∥ = ∥F_{2}(x, y)∥ = ∥x∥∥y∥.

を満たす．これらを利用して次のように orthogonal multiplication を構成する． q + 1 = 2k のとき． R^{q+1} = R^{2} ⊕ ⋯ ⊕ R^{2} と k 個に分解して i (0 ≤ i ≤ k) に対して

F = \overbrace{F_{1} ⊕ ⋯ ⊕ F_{1}}^{i 個} ⊕ \overbrace{F_{2} ⊕ ⋯ ⊕ F_{2}}^{(k − i) 個}

とすれば orthogonal multiplication F : R^{2} × R^{q+1} → R^{2(q+1−i)} が得られる．したがって q + 1 ≤ r ≤ 2q + 2 を満たす偶数 r に対して orthogonal multiplication R^{2} × R^{2k} → R^{r} が存在する．

q + 1 = 2k + 1 のとき．

R^{q+1} = R^{2k} ⊕ R と分解して F : R^{2} × R^{2k} → R^{r} を用いて F̃ : R^{2} × R^{2k+1} → R^{r+2} を

F̃((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, …, y_{2k}, y_{2k+1})) = (F ((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, …, y_{2k})), (x_{1}y_{2k+1}, x_{2}y_{2k+1})),

で定義すればよい．ただし， (x_{1}, x_{2}) ∈ R^{2}, (y_{1}, …, y_{2k}, y_{2k+1}) ∈ R^{2k+1}. したがって q+2 ≤ r ≤ 2q + 2 を満たす偶数 r に対して orthogonal multiplication R^{2} × R^{2k+1} → R^{r} が存在する．

補題２．次数 2 の固有関数写像 f : S^{m} → S^{n} から，同じ次数の固有関数写像 φ : S^{m+2} → S^{n+r+2} が構成できる．ただし， r は m + 1 ≤ r ≤ 2m + 2 を満たす偶数を動く．さらに f が full ならば φ も full である．

証明． g : S^{1} → S^{1} を g(e^{iθ}) = e^{2iθ} なる写像とする．この g と f : S^{m} → S^{n}, および補題１の orthogonal multiplication F : R^{2} × R^{m+1} → R^{r} を用いて φ : R^{m+3} → R^{n+r+3} を

φ(x, y) = (g(x), f(y), \sqrt{2}F (x, y)) (x, y) ∈ R^{2} × R^{m+1}

で定義すると ∥φ(x, y)∥^{2} = ∥(x, y)∥^{4} が成り立つので φ : S^{m+2} → S^{n+r+2} は次数 2 の固有関数写像をあたえる．

補題３． (Gauchman-Toth [1]) f : S^{m} → S^{n} を次数 2 の固有関数写像とするとき

φ(x, y) = (\frac{\sqrt{m(m + 2)}}{m + 1}f(x), \frac{m + 2}{m + 1}(y^{2} − \frac{∥x∥^{2} + y^{2}}{m + 2} ), \sqrt{\frac{2(m + 2)}{m + 1}}yx)

とおけば， φ : S^{m+1} → S^{m+n+2} は次数 2 の固有関数写像である．ここに (x, y) ∈ R^{m+1}×R. 特に f が full ならば φ も full である．

証明．直接計算で確かめられる．命題． (1) (i) n = 4, あるいは 7 ≤ n ≤ 19 に対して full な次数 2 の固有関数写像 φ : S^{5} → S^{n} が存在する． (ii) 11 ≤ n ≤ 26 に対して full な次数 2 の固有関数写像 φ : S^{6} → S^{n} が存在する．

(2) k ≥ 3 とする．

(i) k^{2} + 3k − 10 ≤ n ≤ 2k^{2} + 5k + 1 に対して full な次数 2 の固有関数写像 φ : S^{2k+1} → S^{n} が存在する． (ii) k^{2} + 5k − 7 ≤ n ≤ 2k^{2} + 7k + 4 に対して full な次数 2 の固有関数写像 φ : S^{2k+2} → S^{n} が存在する．

注意． (1) full な次数 2 の固有関数写像 φ : S^{3} → S^{n} が存在する必要十分条件は， n = 2, あるいは 4 ≤ n ≤ 8 となることである．

(2) Gauchman と Toth ([1]) は full な次数 2 の固有関数写像 φ : S^{4} → S^{n} が n = 4, 7 あるいは 9 ≤ n ≤ 13 に対して存在することを示した．

固有関数写像は一般にはめ込みとは限らない．実際，

φ(x, y, u, v) = (x^{2} + y^{2} − u^{2} − v^{2}, 2xu, 2xv, 2yu, 2yv)

を考えれば， φ : S^{3} → S^{4} は次数 2 の固有関数写像であり， φ(x, y, 0, 0) = (1, 0, 0, 0, 0) であるから， p = (1, 0, 0, 0, 0) に対して φ^{−1}(p) は S^{1} 分の自由度をもつ．したがって v ∈ T_{p}S^{3} を φ^{−1}(p) に接する方向に選べば， (d_{p}φ)(v) = 0 である．したがって φ ははめ込みではない．

最近 Tang によって次のことが示された．

補題４． (Tang [3, Lemma3.6]) 次数 2 の固有関数写像 φ : S^{m} → S^{n} (m ≤ n) がはめ込みであるための必要十分条件は，任意の点 p ∈ S^{n} に対して p の逆像 φ^{−1}(p) が空集合か，あるいはちょうど２点のみ含むことである．

系． (Tang [3, Proposition3.7, 3.8]) 補題２，３において f : S^{m} → S^{n} (m ≤ n) がはめ込みであるならば，それぞれの φ もはめ込みである．

これらの結果から次が得られる．

定理． k ≥ 2 とする．次の球面の間に， full な次数 2 の固有関数写像でかつ，はめ込みになるものが存在する．

(i) φ : S^{2k−1} → S^{n} (k^{2} + k − 1 ≤ n ≤ 2k^{2} + k − 2). (ii) φ : S^{2k} → S^{n} (k^{2} + 3k ≤ n ≤ 2k^{2} + 3k − 1).

注意．定理の n の上限は， full な次数 2 の固有関数写像が存在するための最大次元と一致する．証明．補題４から次の４つの固有関数写像がはめ込みになることがわかる．

f_{5} : S^{3} → S^{5} : f_{5}(x, y, u, v) = (x^{2} − y^{2}, u^{2} − v^{2}, 2xy, 2uv, \sqrt{2}(xu + yv), \sqrt{2}(xv − yu)),

f_{6} : S^{3} → S^{6} :

f_{6}(x, y, u, v) =(\frac{1}{\sqrt{2}}(x^{2} + y^{2} − u^{2} − v^{2}), \frac{1}{\sqrt{2}}(x^{2} − y^{2}), \frac{1}{\sqrt{2}}(u^{2} − v^{2}),

\sqrt{2}xy, \sqrt{2}uv, \sqrt{3}(xu + yv), \sqrt{3}(xv − yu)),

f_{7} : S^{3} → S^{7} : f_{7}(x, y, u, v) = (x^{2} − y^{2}, u^{2} − v^{2}, 2xy, 2uv, \sqrt{2}xu, \sqrt{2}xv, \sqrt{2}yu, \sqrt{2}yv),

f_{8} : S^{3} → S^{8} :

f_{8}(x, y, u, v) =(\frac{1}{\sqrt{3}}(x^{2} − y^{2}), \frac{1}{\sqrt{3}}(x^{2} − u^{2}), \frac{1}{\sqrt{3}}(x^{2} − v^{2}),

\frac{1}{\sqrt{3}}(y^{2} − u^{2}), \frac{1}{\sqrt{3}}(y^{2} − v^{2}), \frac{1}{\sqrt{3}}(u^{2} − v^{2}),

\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}xy, \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}xu, \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}xv, \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}yu, \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}yv, \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}uv).

したがって補題３から 10 ≤ n ≤ 13 に対して， full な次数 2 の固有関数写像 φ : S^{4} → S^{n} が得られるが，系からこれらはすべてはめ込みである．

以下，帰納法を使う．

full な次数 2 の固有関数写像ではめ込みになるものが，それぞれ次の次元のペアに対して存在すると仮定する．

\begin{cases}S^{2k−1} → S^{n}, & α_{2k−1} ≤ n ≤ β_{2k−1}, \\ S^{2k} → S^{n}, & α_{2k} ≤ n ≤ β_{2k}. \end{cases}

k = 2 のときは上に述べたことから， α_{3} = 5, β_{3} = 8, α_{4} = 10, β_{4} = 13.

１つ目の仮定に補題３を２度適用することによって， α_{2k−1}+4k+3 ≤ n ≤ β_{2k−1}+4k+3 なる n に対して full な次数 2 の固有関数写像 φ : S^{2k+1} → S^{n} ではめ込みになるものが存在することがわかる．一方，１つ目の仮定に補題２を適用してα_{2k−1}+2k+2 ≤ n ≤ β_{2k−1}+4k+2 なる n に対して full な次数 2 の固有関数写像 φ : S^{2k+1} → S^{n} ではめ込みになるものが存在することがわかる．結局， α_{2k−1} + 2k + 2 ≤ n ≤ β_{2k−1} + 4k + 3 なる n に対して full な次数 2 の固有関数写像 φ : S^{2k+1} → S^{n} ではめ込みになるものが存在する．したがって

\{ \begin{matrix}α_{2k+1} = α_{2k−1} + 2k + 2, \\ β_{2k+1} = β_{2k−1} + 4k + 3 \end{matrix}

が得られる．ところで α_{3} = 5, β_{3} = 8 であるからこれを解いて

α_{2k−1} = k^{2} + k − 1, β_{2k−1} = 2k^{2} + k − 2.

同様にして，２つ目の仮定に補題３を２度適用することによって， α_{2k} + 4k + 5 ≤ n ≤ β_{2k} +4k +5 なる n に対して full な次数 2 の固有関数写像 φ : S^{2k+2} → S^{n} ではめ込みになるものが存在することがわかる．一方，２つ目の仮定に補題２を適用して α_{2k} + 2k + 4 ≤ n ≤ β_{2k} + 4k + 4 なる n に対して full な次数 2 の固有関数写像 φ : S^{2k+2} → S^{n} ではめ込みになるものが存在することがわかる．結局， α_{2k} + 2k + 4 ≤ n ≤ β_{2k} + 4k + 5 なる n に対して full な次数 2 の固有関数写像 φ : S^{2k+2} → S^{n} ではめ込みになるものが存在する．したがって

\{ \begin{matrix}α_{2k+2} = α_{2k} + 2k + 4, \\ β_{2k+2} = β_{2k} + 4k + 5 \end{matrix}

が得られる．ところで α_{3} = 10, β_{3} = 13 であるからこれを解いて

α_{2k} = k^{2} + 3k, β_{2k} = 2k^{2} + 3k − 1.

注意． Tang([3]) も次数 2 の固有関数写像でかつ，はめ込みになるものの存在を証明している．

参考文献

[1] H. Gauchman and G. Toth, Constructions of harmonic polynomial maps between spheres, Geom. Dedicata 50 (1994), 57–79.

[2] M. Parker, Orthogonal multiplications in small dimensions, Bull. London Math. Soc. 15 (1983), 368–372.

[3] Z. Z. Tang, New constructions of eigenmaps between spheres, Internat. J. Math. 12 (2001), 277–288.

[4] K. Ueno, Some new examples of eigenmaps from S^{m} into S^{n}, Proc. Japan Acad. 69 (1993), 205–208.

[5] P. Y. H. Yiu, Quadratic forms between spheres and the non-existence of sums of squares formulae, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 100 (1986), 493–504.