第3回(5/2)

• y=Arcsin(x), y=Arccos(x), y=Arctan(x) のグラフと性質
• これらの定義域と値域に気をつけろ。
  • Arcsin(x)の定義域は -1 から 1 、値域は -π/2 から π/2 まで。
  • Arccos(x)の定義域は -1 から 1 、値域は 0 から π まで。
  • Arctan(x)の定義域は実数全体、値域は -π/2 から π/2 まで。
• 三角関数の公式を復習
• Arcsin(x), y=Arccos(x), y=y=Arctan(x) の値を求めよ。
• これらの関係式を証明せよ。
• y=sinh(x), y=cosh(x), y=tanh(x) のグラフと性質
• これらの関係式を証明せよ。

第4回(5/9)

• 微分可能の定義。
• 積・商・合成関数の微分の公式。
• 逆関数の微分。(Arcsin, Arccos, Arctan, tanh^-1 など)
• 例１
• 例２
• 対数微分法。微分がらくになる。
• 例３
• 演習。

第5回(5/16)

• n 階微分の定義。
• ライプニッツの公式。
• sin cos の n 階微分について。
• tanh^-1 x の n 階微分。
• x^α の n 階微分について。
• (2n-1)!! などの記号の意味。
• 平均値の定理。
• 平均値の定理の分母を払うと、
  f(x)=f(a)+f ' (ξ)(x-a)
  となり、x が a に十分近いとき、f(x) の近似（一次近似）と思えること。つまり、
  f(x)≒f(x)+f ' (a)(x-a)
• (0.99)^1/4 を計算すること。
• 演習

第6回(5/23)

• ロピタルの定理の説明。
• ロピタルの定理は f(x) ->0 , g(x) -> 0 もしくは f(x) -> ±∞, g(x) -> ±∞（符号はどの組み合わせでもよい）の場合（いわゆる不定形の場合）に有効です。
• ランダウの記号。まずは式になれること。
• ランダウの記号の意味は、関数 f(x) を g(x) で近似することである。
• その近似の度合いを o(xⁿ) などで表している。
• n -> ∞に従って関数 g(x) を取り替えていくと、f(x) と g(x) の近似の精度があがっている（近似が良くなっている）ということです。
• 拡大率というと少し正確ではないかもしれません....
• テイラー展開の説明。
• テイラー展開は平均値の定理の一般化である。(第 n 次近似といえる。)
• 平均値の定理を繰り返し使うことでテイラー展開が得られます。
• 演習。

第7回(5/30)

• テイラー展開の剰余項は o((x-a)^n-1) である。
• 剰余項の部分はいつでも n→∞ で収束するとは限らない。(例 e^-1/x2 など)
• テイラー展開も全ての実数で成り立つとは限らない。(例 1/(1-x)=1+x+x²+x³+..... は x>1 で右辺が発散してして不成立。x=1 では左辺も発散。)
• x=a でテイラー展開するとき、a の十分近くでこの展開が成立する。（収束半径）
• ランダウの記号の公式 x^mo(xⁿ)=o(x^n+m), o(x^m)o(ⁿ)
• o(^m)+o(ⁿ)=o(x^m)\ \ ただし m≦n
• 漸近展開を用いて極限を計算する。
• マクローリン級数展開。
• 二項級数のマクローリン展開
• 収束半径内でマクローリン級数は項別に計算すればよい。
  f(x)=Σ_n=0^∞a_nxⁿ
  g(x)=Σ_n=0^∞b_nxⁿ
  のとき、
  • f(x)+g(x)=Σ_n=0^∞(a_n+b_n)xⁿ
  • x^kf(x)=Σ_n=0^∞a_nx^n+k
  • f(x^k)=Σ_n=0^∞a_nx^nk
  • f'(x)=Σ_n=0^∞na_nx^n-1
  • ∫₀^xf(t)dt=Σ_n=0^∞a_nxⁿ⁺¹/(n+1)
• Arcsin x のマクローリン級数展開（授業での計算では間違いがありました。twitterに訂正を貼り付けました。）

第8回(6/6)

• 無限級数 Σ_n=0^∞a_n が収束するなら、各項 a_n は 0 に収束すること。
• 無限級数を計算するのにテイラー級数展開を用いること。
• 積分について。（テクニックを個別に覚えること。）
• 多項式、べき関数の積分
• 三角関数の積分 I sin の微分が cos になり cos の微分が -sin になることを用いて置換する。
• 有理関数の積分 I （分子が分母の次数より大きい場合）
• √(1-cosθ)の積分の仕方。

第9回(6/13)

• 部分積分の公式、演習、例
• 有理関数の積分、
  • 分子の次数が分母の次数より大きい場合、割り算をして分子の次数を分母の次数より小さくする。
  • 割り算をした後、部分分数に分解して、 1/(x+a)ⁿ もしくは、 (cx+d)/(x²+ax+b) の形に分解すること。 このとき、x²+ax+b は実数係数の一次式に分解できない多項式である。
  • 1/(x+a)ⁿ は 1/(x+a)ⁿ⁺¹ もしくは log を用いて積分できる。
  • と変数変換できて、前者は t=y²+1、後者は s=tan y などで置換して積分。
• 三角関数の積分は sin x もしくは cos x を t と置くことによって、置換できる場合がある。
• f(sin x, cos x) の積分は迷ったら tan(x/2)=t と置くことによって全て解決できる。
• 無理関数で、√(1-x²) は三角関数 x=sin t と置くことによって、√(1+x²) は x=sinh t と置くことによって 積分できる形になる。
• 無理関数 √(1-x²) は他に置き方があり（教科書の例2.15など参照）
• 演習。

第10回(6/20)

• sinⁿ の積分の公式とその証明。
• 例題
• 体積に関する積分
• 球体の体積の計算。
• 曲線の長さの積分
• 球の表面積の計算。
• 極方程式で表された曲線の長さ。
• 回転体の体積の求め方。
• 対数螺旋の長さ。
• 演習。

第11回(6/27)

• 試験

• A²=B² ならば A=B と大多数の人がしている。 A²=B² ならば、(A-B)(A+B)=0 なので A=B もしくは、 A=-B のはず。 A=B となるならその理由を必ず付すこと。（しないと減点されます。）
• 計算過程はなるべく省略しない。
• tanh^-1(x) は tanh(x) の逆関数という意味です。つまり、y=tanh^-1(x) ならば、 x=tanh(y) となります。また、(tanh^-1)'(x)=1/(1-x²) となることに気をつけましょう。
• テイラー級数展開に弱いようです。基本的な展開について覚えましょう。
  
  
  
  
  
  また、２項係数は、
  
  のように計算します。

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