トポロジーI演習

第3回(5/7)

• （2-2）（2-3）（2-4）

第4回(5/14)

• （2-1途中）（2-6）（2-10途中）（3-1途中）（3-2）

第5回(5/21)

• （2.1）（2.5）（2.7(次回)）（3.1）（3.3途中）（3.4）（3.5）（3.6）（3.7（次回））（3.8（次回））

第6回(5/28)

• （2.9）（2.10）（3.2）（3.3）(3.7)（3.8）（4.1途中）（4.5）
• [レポート]２から５章の演習問題をどれか３問レポートにして6/11までに提出すること。
• これ以後レポート課題も増えると思います。（残りの章もしくは他の問題など。）

第7回(6/4)

• (4.1)（4,3）(5.1) (5.2)（5,4）（5,5）（5.6）（5.8）（5.14）

第8回(6/11)

• (4.2)（4,4）(5.3) (5.7) (5.10) (6.3) (6.6) (6.7)

第9回(6/18)

• (5.9) (6.1)(6.2)(6.4)(6.8)(7.1)(7.5)(7.6)

第10回(6/25)

• (6.5)(6.11)(7.2)(7.3)(7.8)(8.1(1))(8.1(2))(8.1(3))(8.2)(8.5(1))(8.6)
• 残った問題解答例

第11回(7/2)

• 8章までで簡単な小テスト形式で行います。

• 命題の否定をつくるとき。

  否定の命題を作るとき、文章を以下のように変換させてください。
  「・・が成り立つ。」---> 「・・が成り立たない。」
  「・・である。」----> 「・・でない。」
  「任意の（全ての）・・に対して・・」----> 「ある・・が存在して・・」
  「ある・・が存在して・・」----> 「任意の・・・に対して・・」
  （例1）「x がある集合の内点であること。」
  「x のある近傍 U が存在して、 U⊂A となること。」
  この否定を取ってみます。
  「x の任意の近傍 U に対して、 UはAに含まれないこと。」(つまり A に含まれないような U の点が必ず存在する。)
  （例2）「白鳥」
  「任意の白鳥は白い。」
  この否定を取ると、
  「ある白鳥が存在して白くない。」
  これらに気をつけて否定命題を作って見てください。

• 論理の問題は簡単そうに見えますが、イメージしにくいものも扱うので分かりずらい時もあります。

  ベン図など書きながら自分で納得するまで考えましょう。

• なんとなく、常識だからとか、以前習ったところではそうなるはずだから・・・というのは原則認めません。

  上にも書きましたが、筋が通っているか？論理的か？を見ます。 問題の解答は必ず教科書に乗っている定義を使って行われます。

• 位相に関する3大重要語句（No.1 開集合、No.2 閉集合、No3. 連続写像）

  • 開集合の特徴について。よく使われる性質。

    • 内部の各点について開近傍が必ず取れる。
    • さらに、距離空間ならあるイプシロン近傍が取れる。
    
    

  • 閉集合の特徴について。よく使われる性質。

    • 補集合が開集合である。
    • つまり、補集合の開集合としての性質を用いよ。
    
    

  • 連続の特徴について。よく使われる性質。

    • 開集合の逆像が開集合
    • 距離空間では、イプシロン(開)近傍の逆像には必ずあるデルタ(開)近傍が存在する。

• 論理の問題

  以下の同値を示しなさい。の場合どのように証明するか？
  
  • (a)任意の A に対して B が成り立つ。
  • (b)任意の C に対して D が成り立つ。
  (a)から(b)（(a)を仮定して(b)）を示す時、まず、任意の C を用意する。 そのとき、そこから作られるある A に対して B が成り立っていることを用いて D を証明する。 逆に、
  (b)から(a)（(b)を仮定して(a)）を示す時、まず、任意の A を用意する。 そのとき、そこから作られるある C に対して D が成り立っていることを用いて B を証明する。
  
  （例）以下の(a)と(b)が同値な命題であることを示せ。
  
  • (a)任意の実数 A 対して A²+x>0 が成り立つ。
  • (b)任意の非負の実数 C に対して C+x>0 が成り立つ。
  [(a)から(b)] 任意の非負の実数 C に対して平方根をとることで、C=A² となる実数 A が存在する。 (a)を仮定しているので(a)から A²+x=C+x>0 が成り立つ。これは結論。
  [(b)から(a)] 任意の実数 A に対して、A²=C とおくと C は非負実数となる。 (b)を仮定しているので(b)から C+x>0　が成り立つ。A²=C なので、A²+x>0 が成り立つ。（証終）
  
  「まとめ」同値性の証明は次のようなプロセスで。
  (1)示そうとする命題の条件を用意する。
  (2)その条件から 仮定されている命題の条件に合わせる。
  (3)仮定されている命題を用いてある結論を導く。
  (4)その結論は実は、示そうとしている命題の結論になっている。
  (5)示そうとする命題と仮定されている命題の立場を逆にして(1)から(4)

• Q1. どうやって証明すればよいか？
  • A1. 言葉の定義に戻ってください。基本的に定義を使って証明。
    例えば、「～が位相を定義することを示せ。」
    →与えられたものが(O-1),(O-2),(O-3)を満たすことを逐一チェックする。
• Q2. さっぱりわかりません。眠くなります。
  • A2. まず寝ること。そして問題となっている定義をじっくり読むこと。
• Q3. 位相とはなんですか？
  
  • A3. ある集合 X とその部分集合の族 T を定めたもの。で以下の性質を満たすものです。
    O-1. T には空集合や全体集合 X は入っている。
    O-2. 2つの集合 U, V が T に入っているとき、その共通集合 U∩V も T に入っています。
    O-3. 任意の数の集合 U_λ が T に入っていればそれらの和集合 ∪U_λ も T に入っています。

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