微積分I演習. （物理2クラス対象） 13年度春学期ABC
金曜日5限
教科書：微積分学入門 例題を通して学ぶ解析学(倍風館), 明解 微分積分 (数学書房)

第16回(8/2)

第15回(7/26)

第14回(7/19)

授業で、t=x+√(x²+ax+b) とおいたあと微\\\分を間違えたような気がします． ノートを取っている人がいれば確認してください。 プリントでは正しく直してあります．2t² が抜けた． 授業中気付いた人がいるかもしれません．

[ガンマ関数]
ガンマ関数について授業中ほとんど触れませんでしたが、収束性は、
x=0 の方では、
|e^−xx^s−1|≤|e⁰x^s−1|≤x^s−1 となり、s>0 で絶対収束する．
x=∞ の方では、
|e^−xx^s−1|=|x⁻²e^−xx^s+1| であり、
e^−xx^s+1→0 （ロピタルの定理を使え．）なので x=∞ で単調減少で有界関数なので上のプロセスのように M(x) とおけば、x⁻² が広義積分できるかどうかに帰着される． 実際、x⁻² は広義積分可能である． ゆえに、e^−xx^s−1 は広義積分可能である． よってガンマ関数

第13回(7/12)

[積分定数の役割]
11回のレポートで、積分定数をわざわざ書いてある（答えの直前まではどこにも C など表れていないにもかかわらず 最後の答えで突如積分定数がでてくる）ことがありました． 積分定数は飾りでついているわけではありません． （もっとも、中森明菜によれば涙でさえ飾りではないらしいですが...．コチラ．）

原始関数を求める場合には定数の分だけ求まりませんからその曖昧さを C で書いているのです． 曖昧さなく求められる積分（定積分、や積分区間がたとえ変数でも定積分の計算であることには変わりありません．） には積分定数はつきません．

微分方程式を解く(積分する)場合には積分定数の分だけの解の自由度（解空間の次元）が存在します．

第12回(7/5)

[部分分数展開の間違い訂正]

問題12-3(1) の積分区間を 0 から π/3 に変えてください．

冪関数の積分で、α が負のとき整数に限るとしましたが、定義域が x>0 である限り α が負のときも整数に限らず負の実数として上手くいきます．（勘違いでした．すいません．）

log(1+x) のテイラー展開ですが、x の剰余項が収束が素直に示せそうなのは、|x|<1/2 でした． 一般に、|x|<1 のとき収束することが示せるはずですが、剰余項の議論からは難しそうです． つまり、|x|<1/2 であれば、x=0 でテイラーの定理を適用させれば、

[実は...]
テイラー級数の収束を直接議論すると |x|<1 で（絶対）収束がいえますので収束半径は 1 です． テイラーの定理は、剰余項の収束だけで級数の収束が言えてしまうお得感がありますが、 収束を簡単に議論しようとすると、収束する領域が狭まってしまいました． 本当はもっと言い議論をすれば、剰余項の収束が |x|<1 でいえるかもしれません． 考えてみてください．

[結論として]

[値 log 2 について．] log(1+x) の x=0 でのテイラー級数は収束半径が x=1 ですので、|x|<1 の 場合しか展開できませんが、ちょうど x が収束半径上にいた場合は挙動は一般に微妙です． この場合、x=1 のときは、絶対値が単調減少する交項級数でしたから必ず収束（絶対収束はしていない）して、級数の値は log 2 と一致します． 一方 x=-1 のときは級数は 1+1/2+1/3+.... となって、昔演習でもやったとおり収束しません． もちろん log の方も log 0 であるから値を持ちません．

第11回(6/28)

積分法1 部分積分法．
積分法2 置換積分法．
積分法3 の置換．
積分法4 sin²ⁿ⁺¹x, cos²ⁿ⁺¹x の積分
積分法5 の置換．

[削除問題(例題11-1(2))]
例題11-1(2)∫₀^xlog(cos x)dx は問題として不適切でした． 普通の関数にできません．問題として無視してください． 微積分の演習のレベルを超えてしまいました．試験には出ませんのでご安心を．

[訂正問題(例題11-2(4),問題11-1(3),(4))]

• 例題11-2(4) π/2 ではなく、１ する．
• 問題11-1(3) π/2 ではなく、 と変えてください．
• 問題11-1(4) log 2 ではなく 3/4 に変えてください． 計算したら log 2 でもそれほど変わりませんね．

[注意]
例題11-1(1)の n は整数とする．

[1/sinθ の積分]
ここで、a,x は 0≤ a< x≤π/2 となる実数．

第10回(6/21)

[テイラー展開の計算方法]
基本的な関数を展開しておけば、その合成や掛け算は簡単に計算できることを認識しましょう． 例えば、授業中でも言いましたが、 一番有名な展開

[テイラー展開可能性から級数の収束へ]
関数が x=a でテイラー級数展開出来るとすると、x=a の周りでその級数が収束することを意味します． これは級数の収束判定の1つといえます． つまり、収束するかどうか知らない級数が、ある関数のテイラー展開の係数となっていたとき、 その級数の収束の判定性はその関数の剰余項の収束に帰着されます．

[絶対収束]
関数 f(x) が x=a で展開したとき、a の近くの x で剰余項 R_n(x) が収束するとする． このとき、 a−|x|< y< a+|x| となる任意の y でテイラー級数は絶対収束します．

[オイラーの公式から sinh x や cosh x と sin x, cos xの関係．]
オイラーの公式を使うと、

第9回(6/14)

コーシー(オーギュスタン＝ルイ・コーシー(Augustin Louis Cauchy)(1789-1857))
は１９世紀に生きたフランスの数学者です．

[sin x の n 回微分をすっきり書く方法]
sin x の n 階微分は n の正負によって違った形になりますが、

第8回(6/7)

第7回(5/31)

[先々週の問題5-2(2)の説明のときに....そしてもう一度証明を書いてみると....]
第5回の授業中、何故か f(x) が連続であることを使ってはいけないように説明してしまいましたが （途中で（多分ピンクのチョークか何かで）× したやつです） 仮定から連続であることは当然使ってよいはずです． 配ったプリントでは結局そのことをわざわざ導いてしまって( |f(x)|<|f(a)|+ε という不等式のことです．) 本質的に使って証明していたわけです． 何故勘違いしたのか自分でも分かりません．ちょっと気にしすぎたようです．
つまり、使っていいことは、
f(x) が連続なら、ある a を含む範囲内で（例えば a−d≤ x≤ a+d で）f は 有界で、|f(x)|≤ M となる実数 M がある．（連続関数は閉区間で最大、最小をもつという定理です）
それで証明に入ってみると、
任意の ε>0 をとってきたときに、ある δ>0 が存在して、|x−a|<δ なら |f(x)−f(a)|<ε が成り立ちます（f の連続性）． 上のような M は d に依存している（つまりここでは δ のこと）ので、ここではさかのぼって M は ε に依存します． また、任意の ε'>0 をとってきたときに、ある δ'>0 が存在して、|x−a|<δ' なら |g(x)−g(a)|<ε' となります．

もし、解答でどこが間違っているか分からないときは（どんな問題でも）相談に乗ります． もしかしたら私の勘違いだけで、点数があがるかもしれませんので．

第6回(5/24)

[ロピタルの定理使用法]
不定形

      (*)

      (**)

第5回(5/17)

[定義域全体で連続であること．] f の定義域を X として、
関数 f(x) が連続であることは、∀a∈ X に対して、f が連続であることをいいます． なので、
∀a∈X に対して、任意の ε>0 に対して、ある δ>0 が存在して、

[例題4.2(2)の符号のはずし方．]
Arcsin x =y とするとき、sin y=x となり、 Arctan(x/√(1-x²))=z のとき、 tan z=x/√(1-x²)
となりますが、このとき、２乗してしまうと、 tan²z=x²/(1-x²) となり、sin²z=x² となります． x=±sin z となって、この符号をどちらか決めなければなりませんが....
２乗を途中でするのではなく、実は cos y=√(1-x²) となります． Arcsin の値域(−π/2≤ y≤ π/2)の関係からいつでも cos y≥0 となりますので．
よって、tan z=tan y が成り立ち、よって、y=z が成り立ちます．

第4回(5/10)

[ダランベールの判定法]
プリントの例題3-1(3)で|a_n+1|/|a_n|≤r<1 なら級数 ∑_n=1^∞  a_n は収束すると ありますが、一般のダランベールの方法は、
|a_n+1|/|a_n| → r<1 に収束したときに、その級数 ∑_n=1^∞  a_n が収束します．
というのも、|a_n+1|/|a_n| が 1 以下のある数 r が近づくなら、 ある数 N 以上の n で、|a_n+1|/|a_n|<s となっているはずです． ここで、r<s<1 となる数です． （もしそうでないとすると、r に収束することに反します．） よって、 N 以上で、|a_n+1|/|a_n|<s ですから、

[優級数法]
収束するか分からないものはとりあえず優級数を探すということが定番となります． 例えば、

[逆三角関数、双曲線関数、逆双曲線関数]
三角関数の逆関数を取ったものですが、定義域や値域に注意して下さい．

第3回(4/26)

問題3-3は  が発散することが示してください．

[絶対収束と条件収束]（第３回プリントを見よ．）
絶対値を数列のそれぞれにとって和をとったものが収束するならその級数は収束して絶対収束すると言います．
また、絶対収束はしないが、実際収束するものを条件収束と言います．

[ダランベールの判定法]
はとばしましたが、どこかで問題にしようと思っています．

[ゼータ関数]
ゼータ関数を

[収束と発散について]
数列が(+ −)無限大に行くことを発散する． それ以外を収束すると演習の授業では教えたと思います． 教科書もそうなっていると思いますが、この授業では発散を

実は私も教科書の定義は少し違和感があった． というのも、実数の数列が収束、(+ −)無限大に行く以外の振る舞いが、単純に振動するという状況では ありません． 例えば、振動するというとある２点を行ったり来たりする感じですが、そうでもない数列があります． 収束というのはある一点に近付くのに対して、２点に（交互に）段々と近づいていく数列を作ることができます． これは振動というのでしょうか？ また、３点に段々と近づくこともできます． もっと言えば、無限個の点に段々と近づいていくこともできます． 以下の問題を考えてみてください．

問題

第2回(4/19)

第1回(4/12)