トポロジーI演習, 学籍番号偶数番優先 2014年度春学期ABC & C
月曜日5限 & 水曜日3限
教科書：集合と位相（内田伏一）裳華房

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第20回(8/6)

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第19回(7/30)

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第18回(7/28)

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第17回(7/23)

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第16回(7/16)

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第15回(7/14)

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第14回(7/9)

90,92の問題は、T_2½ を T_3½ に変えてください．

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第13回(7/7)

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第12回(7/2)

X は完備距離空間とする．

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第11回(6/30)

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第10回(6/23)

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第9回(6/16)

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第8回(6/9)

非ハウスドルフ空間における点列 a_n で a にも b にも収束するものを構成せよ． ただし、a≠b とする．

積空間の位相は有限積である場合と無限積である場合と少し違います． 実は基本は同じなのですが．ともかく、
有限積の場合では、O₁,... O_n を積空間それぞれの 開集合であるとき、, O₁×...×O_n をその開基とする位相のことです．
無限積の場合では、因子空間のうちの有限個をとり、その開集合を O_λ1,... O_λk としてとる． さらにその他の因子空間は因子空間そのものをとる． これらの積を取った部分集合を開基とする位相が無限積空間の位相です． つまり、射影を p_λ: ∏_λ∈ΛX_λ →X_λ としたときに、 有限個の λ₁,...,λ_k をとって、p_λ1⁻¹(O_λ1) ∩...∩p_λk⁻¹(O_λk) を開基としているのです．
無限積の場合を有限積にの場合にあてはめれば、そのまま有限積の積位相と同じになります． ただ、無限個の開集合を取って位相を作ったものは積位相とは言いません． 一般にそれは箱型積位相といわれ、積位相とは異なる位相が入ります．

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第7回(6/2)

全射連続な開（もしくは閉）写像は商写像ですが、商写像だからといって開写像および閉写像になるとは限りません。 簡単な例だと、単なる射影 R²→R は普通の距離位相を両者に入れておくと、 商写像ですが、閉写像にはなりません。（なぜか？） 開写像にならない、

(X,O) を位相空間、A⊂ Xを部分集合とすると、A 上に X の位相から新しく位相 O_A が以下のように導入されます． つまり、

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第6回(5/26)

二つの集合 A B が同じであるための証明は、A ⊂ B かつ、B⊂ A であることを示せばよい。

x∈∪_λ∈ΛU_λ．であるとすると、 必ず、ある λ が存在して、x∈U_λ となります。 これは、集合 ∪_λ∈ΛU_λ の元 x は少なくともひとつの λ にたいして、 x∈U_λ となるもの全体であるから明らかです。

また、∩_λ∈ΛU_λ の定義は、全ての λ∈Λ に対して x∈U_λ となる元全体の集合です．

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第5回(5/19)

ある写像 f : X→Y が連続であるためには、Y の任意の開集合 U を取って、その逆像 f⁻¹(U) が X の開集合であることが必要十分です． なので、特別な開集合を取って議論しても連続であることは示せていません． 任意の開集合を取ってくるには、開基を取るとよいでしょう． つまり、全ての開集合は開基からいくつか取って来てその和集合で書けるわけだから、まず、任意の開集合を 開基の和で書いておけば、逆像は、開基の逆像の和集合になるはずです． よって、開基の逆像が X の開集合になることがいえればよいわけです． このことはある意味、明らかですが、そのことが分かっていない人には随時分かっているのか聞いています．

p-進位相では、||0||_p=0 と定義しておくのが一般的のようです．
||n||_p≤ 2^-k であることを n が p^k で割り切れることと定義 （つまり、||n||_p> 2^-k であることを n が p^k で割り切れないこと）しておいても、||0||_p の値は 0 以外に取りえません．

[問題63]
(1) 上限位相において、(a,b)が開集合であることを示せ．
(2) 通常の距離位相 (R,O_d) において、(a,b] が開集合にならないことを示せ．

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第4回(5/12)

可算個の基本近傍系をもつこと．

可算個の開基を持つこと

閉包を取ると全体と一致するような可算部分集合が存在すること． つまり、可算部分集合の触点が全体となる部分集合が存在すること．

「第2可算」⇒ 「第1可算」& 「可分」

今年度から、数学類において、数学の学習サポートとして、数学手習い塾が開塾されます．

時間：水曜日5-6限
期間：春学期、秋学期、期間内（5/21～）
場所：1E403
対象：数学類1.2年生

これは、数学の演習や講義のみならず、数学に関する様々な疑問や質問に答える学習サポートです． 院生がメインになって学類生の相談を受けますが、教官もこの部屋に来て、教えることがあります． 建前上、数学類1,2年生の学習サポートですが、私もこの部屋に行く予定なので、 トポロジー演習の授業、もしくは演習の質問に答えることができます． もちろん、他の質問をしていただいてもかまいません． 答えられる範囲で答えます．

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第3回(4/28)

U は任意の x を含む任意の開集合です．

点集合は無限とします．

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第2回(4/21)

問題13はハウスドルフを使って解いていましたが、この概念を使わなくてもよいです． 証明の中では基本的にこの概念に相当するものを使っているのですが． 例えば、問題の位相空間の中の1点 p を取って、その点の ε 閉近傍をとります． 十分小さく ε を取っておけば、その ε-閉近傍に入らない点 q を含みます． その閉近傍の補空間は開集合です． そのような q は位相の入れ方から有限個の点しか含みません． そのような有限個の点集合上の開集合は全体の集合においても開集合です． また、距離が入ることから、それは離散位相です． しかし、無限集合上に有限補集合位相が入っているので、 一点が開集合になることはありません． よって、矛盾します．

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第1回(4/14)

位相空間の定義のなかで、[O₃]の O_λ は Λ で添え字づけられた 開集合である．

ここで、操作不変量として、接続行列を2で割った余りとします． そうすると、グラフ G から 0 か 1 を値に持つ関数が得られます． それを n(G) と書くことにすると、 この関数 n(G) は操作1,2で不変であることを証明できます． つまり、 n(G)=n(G') です． そうすると、いくら操作を有限回行ってもこの値は変わらないことになります． なので、 n(G)≠n(H) となるグラフ G,H があるなら、グラフ G, H はいくら操作をやっても 移り合わないことが証明できます．n(G)=1 となることが可能グラフであることの必要十分条件で、 n(G)=0 となることが不可能グラフであることの必要十分条件です． （もちろん当たり前ではなく、証明がいります．）

授業の途中で、逆操作を許してもいいと言いましたが、このような不変量の立場で考えれば、 逆操作を許してしまった方がすっきりしますが、グラフの形に注目しながら議論する場合は、 逆操作は許さないとした方が受験生は困らなかったのではないでしょうか？

実際の入試問題は棒状のグラフができるための必要十分条件を要求しており、途中で一度でも枝分かれができて しまえばその枝分かれを取ることはできませんから．

そういうわけで、逆操作を許さないとすると、B_n などができないことは不変量の立場からの 証明がしにくくなるでしょう．