トポロジーI演習, 学籍番号偶数番優先 2014年度春学期ABC & C
月曜日5限 & 水曜日3限
教科書：集合と位相（内田伏一）裳華房

• ((101)) コンパクト性を使うこと． 後の二つを区別するには、連結性を使って区別して下さい．
  
• ((90,91))
  部分空間 A⊂X とする．
  (i=2) A において2点を選んで X の開集合で分離すればよい．それらの開集合を A の共通部分とって A においてもそれらが分離することを示せ．
  (i=3) A において1点 x と閉集合 F をとる．F=A∩V となる X 上の閉集合 V をとって、x,V に対して X の T₃ の条件を使って開集合 U,V がとれ、それらと A との共通部分が 開集合として x と F を分離することを示せ．
  (i=3½)  (i=3) に おける議論を連続関数に対して行なえ．
• ((85))
  f:X→Y において、X の2つの異なる点列 {x_n},{x_n'} とその極限 x,x' を考える． x_n と x_n' は f で Y において同じ点列になるようにする． しかし、極限 x,x' は f において同じ点に写らないような写像とすればよい．
• ((84))
  直積の方だけ示せばよい． 2つの位相空間の積 X× Y の場合、 p=(p₁,p₂), q=(q₁,q₂) をとると、p≠q もしくは p'≠q' である． よって、 X, Y がハウスドルフであることを使って p と q を分離せよ．
• ((83))
  F,G をゾルゲンフライ直線の任意の互いに交わらない閉集合とする． p∈F をとる． このとき、p より大きい十分小さい q をとると p≤x≤q となる x は x∉G となることを示せ． もしそうならないとすると、G は (p,x₀] を含み、p を含まないような x₀∈R が 存在する．これは G が閉集合であることに矛盾する． よって、このような半開区間 [p,q) を p 毎にとることで、F を覆うこと．
• ((80))
  クラインの壷を作るために I² の同一視を作るか、 クラインの壷への商写像を定義せよ． 2次元位相曲面が向き付けできないことを メビウスの帯と同相な部分集合が存在するときにいうことにして示せ． n次元位相曲面の向きは正確には接平面の概念が必要となる．
• ((79))
  円盤から S² への商写像で、境界の S¹ が一点につぶされるものが存在することを示せ．
• ((78))
  アニュラスから円盤への商写像で、片方のS¹を円盤の一点につぶすようなものが作れることを 示せ．
• ((75))
  T₄ であることを示せ．任意の閉集合 F₁, F₂ に対して 各点x∈F₁ に対して F₂ の各点と交わらない開集合を選べ．
• ((74))
  全ての部分集合は閉集合であり、開集合である．
• ((73))
  距離空間であることから２点がイプシロン球などで分離出来ることをしょうめいせよ．
• ((72))
  1次変換 R²→R² が連続であることを示せ． そして、この写像をトーラス上に誘導したときその写像がwell-definedかつ全単射であることを示せ． 商写像を合成させると、トーラス上に連続性が移ることを示せ．
• ((71))
  トーラスを商空間として入れる位相と積位相として入れる位相を両方考えよ． 積位相に関しては、開基として長方形の形の開集合が取れる． 商位相としては、R² の開集合からくるものを入れよ．
• ((71))
  I×I→S¹×S¹ への写像が商写像を定めることを示せ． このとき、上の定理6-1を使え．
• ((70))
  I²→R² を定義し、I²→I²/~ と R²→R²/~ を考える． φI²/~→R²/~ が定義できる． この φ が全単射連続であることを可換図式を示す． また、コンパクト空間からハウスドルフ空間への全単射連続写像は 同相写像になることを使え． I²/~ がコンパクトであること、R²/~ がハウスドルフ であることを示す必要がある．
• ((70))
  I²→R²/~₁ の写像を構成せよ． この写像が商写像であることを示せ．
• ((69))
  X_λ が可分であるのに、Π_λ∈ΛX_λ が 可分でなくなることを示す． X_λ={0,1} として O={Φ,{0},{0,1}} として
• ((68))
  
• ((67))
  定義に戻れ．
• ((66))
  定義を用いよ．
• ((65))
  恒等写像でつくってみよ．
• ((64))
  S¹=R/~ としての位相は、R の開基から来るものであるが、それは (a,b) を開基とするものだった． (a,b)/~ を開基する位相が S¹ に入っている． 一方 S¹ 上の R²からの位相でそれらが作れるかどうか 示せ．部分位相から来る位相は R² 上の開基を 制限した集合が S¹ 上の開基にもなる．
• ((63))
  (1)
  半開区間の無限和集合で作れ．
  (2)端の点 b が内点であるとすると、このε近傍で、(a,b] 内に入るものが存在する． これは無理である．なぜか？証明せよ．
• ((62))
  まず、この距離空間はR² 上の通常の距離空間と同じである． f が連続かどうかはそれぞれの R への射影との合成が連続かどうかを調べよ． 開写像かどうかは任意の開基の元が開集合に移ることをしめせばよい．（なぜか？）
• ((61))
  全単射でないと仮定して議論せよ．そのような点 a,b ∈R があるとすると、[a,b] の像の最大もしくは最小が [a,b] の内点でとることができるか？もしそうでないならどのようなことがおこるか議論せよ．
• ((60))
  自明なものを考えよ．
• ((59))
  ((57))と同じ問題でした．
• ((58))
  まず f が連続となることを示せ．最小性は、この位相より細かい開集合があったときに、f が連続性が言えなくなることを示せ．
• ((57))
  f:X→ Y の商写像の定義は Y の開集合が U であることと、f⁻¹(U) が X の開集合であることが 同値であるような写像のことである．連続なる開写像であればこの条件は満たされることを示せ．
• ((56))
  開写像および閉写像の定義にもどるだけ．
• ((55))
  Λ が無限個の場合であるとき示せ． V_λ を X_λ の中の全体集合ではない開集合を取ったとき、これは 通常の積位相では開集合にならないことを示せ．
• ((54))
  因子空間が無限個ある場合に示して下さい．問題50のようなものでもいいがそれ以外に作ってみてください．
• ((53))
  問題46 の証明を因子空間が無限個ある場合にも応用せよ．
• ((52))
  Z 上のRからくる距離位相は離散位相である． p-進距離においては任意の点の十分小さい近傍が一点のみにならないことを示せ． 十分小さい近傍にも Z の元が入る． つまり、 p のいくらでも高い冪の整数が存在することを示せばよい．（←これは明らかとしてよい．）
• ((51))
  距離の公理を満たすことを示せ．
• ((50))
  R² から R への射影は閉写像ではない． 平面上の閉集合で、射影したときに開集合になるようなものをみつけよ．
• ((49))
  無限個の積空間の間の距離をそれぞれの因子空間の距離から作れ． それぞれの和を単に取るだけだと、任意の２点に対して距離が定義できないときがあるのでそれらが収束するように工夫せよ．
• ((48))
  {x}×Y の開集合は積集合としての開集合として議論するのではなく、部分空間としての開集合として扱うことに注意せよ． 実際それらは一致するのだが、定義から明らかなことではない．
• ((46))
  連続であることは定義にもどって議論すれば明らか.... 開写像であることは、任意の開集合 V をとって、開基にわけてみよ． それぞれの開基の像が行先で開集合を定めることを示せ．
• ((44))
  積空間の近傍および開集合の定義を復習せよ．
• ((43))
  ((47))の応用．
• ((42))
  積位相を入れておくと、射影が連続であることをまず示せ． 射影が連続であるための積集合上の位相の必要条件がそのまま積位相の定義なることを示せ（確認せよ）．
• ((41))その２
  問題47の答えを使え． つまり示すことは、f の任意の R への成分への射影が連続であればよい．
• ((41))その１
  U を R²=X の開集合とする． f^-1(U)={(x,y)∈X×X|x+y∈ U} である．この集合が開集合であることを示す．
f^-1(U)=∪_x∈X{(x,y)∈X×X|y∈ U-x} であることを使ってこれが開集合であることを 示せ． 本質的には開集合を平行移動した集合が開集合であることを示せ．
• ((40))
  積位相の開基は (a,b)×(c,d) となる四角形である． R² の距離空間としての開基は (x,y) を中心とする ε を半径とする円（の内部）である． どちらも同じ近傍基を定めることをいえばよい． 具体的には円の中の任意の点に対して四角形の近傍を作ることができること． および、四角形の中の任意の点に対してその点を中心とした円を描くことができればよい．
• ((39))ヒントその２
  S¹ の数列 {x_n} とすると、[0,π/2),[π/2,π),[π,3π/2),[3π/2,2π) と分割する． そうすると、この数列の中で無限個存在する領域が存在する．その領域 V₁ をとる． さらに、V₁ を4分割すると、その中で無限個存在する領域が存在する． それを V₂ とする． この操作を続ける．V₁, V₂,.....と構成続けると、領域はだんだん小さくなって、 S¹ 上の点に収束する． Vⁱ には無限個の点が存在するから、x_n のなかから、部分列になるように点列を作ることができる．
• ((39))ヒントその１
  S¹ 上の相対位相をもつ空間は任意の角度の幅 θ−ε から θ+ε が開基となることを示せ． 任意の無限点列 {x_n} を用意し、円を２等分、４等分、８等分しながら、無限個点列をもつ S¹ の部分を追跡していけば収束する部分点列を見つけることができる． そのとき、収束する位相として上で定めたものを使う．
• ((36))
  (1)
  各点 (x,y)∈Q\times;Q に対して、1/n の半径（もしくは、[x,x+1/n)×[y,y+1/n) なる半開正方形でもよい）が 近傍系であることを示せ． Q×Q 高々可算稠密部分集合であることを示せ．
  (2)
  x+y=1 となる直線上の任意の点はある R×R での開集合の制限になっていることを示せ．
  (3)
  ((35)) と同じ議論をもちいよ．
• ((35))
  各点 a において、{[a,a-1/n)|n自然数} を取った時にこれが基本近傍系であることを示せ． また、第2可算として、矛盾を示せ． 開基の性質から任意の開集合 U とその点 x∈U に対して、 x∈V⊂U となる開基の元 V が存在する．例えば、任意の x∈R に対して、[x,x+1) なる開集合を 考えよ．任意の x に対して、そのような開集合 V が存在することになる． このとき、このような開集合 V は半開区間のようなものとして取れるが、 ここで、第２可算であるとすると、そのようなものが可算個取れることになる． しかし、そのような V は連続濃度必要であることはわかるはずである． ここに矛盾が生じるはずだが... 可分であることは実際有理数全体が可算個の稠密部分集合であることを示せ．
• ((34))
  可算集合として、Q^∞ とすると、可算集合でなくなる． よって、可算集合として {x_n}∈l¹,l² をある n 以上で全て 0 となる数列で値が全て有理数となるもの をとってこればよい． 任意の点 x∈l^1,2 に対してそのイプシロン近傍 B(x,ε) に対して、上記の集合の元が少なくともひとつあればよい．
• ((29))
  全ての開集合を求めよ．
• ((28))
  F⊂X が閉集合であるとき、点列 {x_n} が X のある点 x に収束したとする． このとき、x が F の元でないとすると、X-F は X の中で開集合だから、x の周りであるイプシロン近傍が存在する． このとき、x_n が x に収束することに矛盾する． 逆に閉じているとする．X-F が開集合であることを示せばよい．x∈X-F の任意のイプシロン近傍に対して、 F の点が 入ってくるなら、x に収束する F の点列が取れてしまう．よって矛盾．
• ((27))
  [左から右]部分空間　A⊂X での開集合 U⊂A はある X での開集合 V⊂X が存在して、U=V∩A となること．（閉集合についても同じことです．）よって、A で開集合であるかどうかは X で開集合があって、それと A との共通部分でかけるかどうかを示せばよい．
  [右から左]逆に、X で開集合であることは、V' を X' から開集合をとる．仮定から f |_A^-1(V'),f |_B^-1(V'), は A, B の開集合だが、 A, B の開集合であることは、上記のように、X の中に V₁, V₂ となる開集合が存在し、A, B との共通部分で作れる．
• ((26))
  (a,b) が上限位相もしくは下限位相では開集合になることを示せ． (a,b],[a,b) が普通の距離空間では開集合にならないことを示せ． 背理法でもし開集合の和で作れるとすると端点も開集合のある点に含まれる必要がある．
• ((23))
Rⁿ の中の有界な点集合は平行移動とスケール変換で、[0,1]ⁿ 内にあると仮定してよい． それを 2ⁿ このブロックに分ける． そうすると、どれかには無限個の点集合が含まれる． さらにそれを同じように分割して、無限個含まれる点集合を探していく． このようにすると、ブロックがだんだん小さくなっていき、どこかに収束先を見つけることができる． その収束先に距離空間の意味で収束することを示す．
• ((21))
  任意の点における近傍全体はどのようにていぎされるか？
• ((20))
  (1) 孤立点はどちらに含まれるか？連結集合の触点は集積点であることを示せ．（問題修正）
  (2) 第一象限上の点は全て孤立点であるので、軸上の点を考えよ．軸上の点において、任意の近傍において、この集合 S の元が入ってくるか？
• ((16))
  問題は、距離空間における近傍系（教科書６３）（[定義]点 N(a) がa の近傍であるとは、a がN(a)で内点であること）は、 距離から作られた距離位相から作られた近傍系（各点 a における近傍 N'(a) は a の内点であること）が一致することを示す問題． だから、本質的には内点の概念が二つで同じであればよい．距離空間における内点と位相空間における内点 はどのように定義されていたか？
• ((11))
  すべての A に対して Aⁱ∩Y が Y の開集合となるとき、A=Y としてみよ． そのとき、明らかに Y は開集合でなければならない．逆に開集合であるときは 全ての部分集合 A が Aⁱ∩Y が Y の開集合であることを示せ．これはかんたん．
• ((22,30,45))\
  
((9,14,33))