1 モデル完全性

T は L-閉論理式からなる集合とする．

Definition 1 T がモデル完全（model complete）であるとは，

\begin{matrix}M ⊂ N （部分構造） \\ M ⊧ T \\ N ⊧ T \end{matrix} \} ⇒ M ≺ N

が常に成立することである．

上のモデル完全性の定義は，部分構造が必ず基本部分構造になることを主張している．たとえ T が完全であっても，部分構造が基本部分構造になるとは限らない：

Example 2 1. T = Th(ℕ, <) とする．もちろん， ℕ 自体は T のモデルであるが， M = ℕ − {0} も T のモデルとなる．しかし， M ≺ ℕ ではない．実際， 1 は最小元という命題（L(M)-論理式でかける）は M では正しいが， N では正しくない．

2. F を 2 元 a, b で生成される自由群として， T = Th(F, e, ∗ · ∗, ∗^{−1}) を考える． a^{2}, b で生成される部分群 G も F と同型になるから， T のモデルである．しかし，論理式 ∃x[x^{2} = a^{2}] は F では成立するが， G では成立しないので， G ≺ F ではない．

では，どういう状況のときにモデル完全になるのだろうか？

Remark 3 T が限量記号の消去を許せば，モデル完全である． M ⊂ N をともに T のモデルとする． φ(ā)をL(M)-論理式（ā ∈ M）とする．このとき， T のもとに∃xφ(x, ȳ) と同値になる限量記号を持たない論理式 ψ(ȳ) が存在する．このとき，限量記号のない論理式は M で成立することと， N で成立することに差がないので次が成立する：

M ⊧ φ(ā) ⟺ M ⊧ ψ(ā)
⟺ N ⊧ ψ(ā)
⟺ N ⊧ φ(ā).

Remark 4 T がモデル完全であっても，完全になるとは限らない． ACF_{p} = ACF + “ 標数=p”を考える． ACF のモデル M の部分モデル N は M と同じ標数を持つ．したがって， ACF_{p} が完全で限量記号の消去を許すことを考えると ACF はモデル完全である．しかし，標数には言及していないので完全ではない．

次の定理を述べる前に，言葉の定義をしておく．論理式が ∀x_{1}∀x_{2}...∀x_{n}φ(x̄, ȳ) の形でなおかつ φ の部分に限量記号が現れないとき，その論理式は ∀-型と呼ばれる．同様に ∃-型論理式も定義する． Theorem 5 T に関する次の条件は同値である．

1. T はモデル完全である．

2. T において，すべての論理式は ∀-型の論理式と同値である．（与えられた論理式 φ(x̄) に対して， ∀-型の論理式 ψ(x̄) が存在して， T のどんなモデル M の中でも ∀x̄[φ(x̄) ↔ ψ(x̄)] が成立する．）

3. T において，すべての論理式は ∃-型の論理式と同値である．

Proof. ２と３の同値性は明らかである．（φ が与えられたとき，否定 ¬φ に対して２（または３）を適用すれば３（または２）が得られる．）

2, 3 ⇒ 1 ：２と３を仮定する． M ⊂ N を T の二つのモデルとすると， ψ が ∀-型の場合は， N ⊧ ψ ⇒ M ⊧ ψ がいえることに注意する．このことを使えば，注意 3 での議論と同様に，勝手な L(M)-論理式 φ に対して， N ⊧ φ ⇒ M ⊧ φ となる．同様に φ が ∃-型とも同値になることを使えば， N ⊧ ψ ⇒ M ⊧ ψ が成立する．

1 ⇒ 2 ：１を仮定し２を否定する．これから矛盾を出す． φ(x̄) を２の否定を実現する論理式とする．

Ψ(x̄) = {ψ(x̄) : ψ は ∀-型， T ⊧ φ(x̄) → ψ(x̄)}

を考えると， Ψ′(x̄) = Ψ(x̄) ∪ {¬φ(x̄)} の解（ā とする）を持つ T のモデル M が存在する．次に

T′ = T ∪ Diag(M) ∪ {φ(ā)}

を考える．ただし Diag(M) は M で成立する限量記号を持たない L(M)-論理式の集合である．

Claim T′ はモデルを持つ.

そうでないとすれば，コンパクト性定理により， ψ(ā, m̄) ∈ Diag(M) を適当とれば，任意の T のモデルで， ∀x̄∀ȳ[φ(x̄) → ¬ψ(x̄, ȳ)] が成立．よって， ∀ȳ[¬ψ(x̄, ȳ)] ∈ Ψ(x̄) である．このことは， ¬ψ(ā, m̄) ∈ Diag(M) を意味するので矛盾．

N ⊧ T′ をとれば， M ⊂ N． 1 （モデル完全性）を仮定しているので， M ≺ N．しかし，これは， M ⊧ ¬φ(ā) と N ⊧ φ(ā) に矛盾する．

Remark 6 上の条件２では，勝手な論理式が ∀-型になることを求めたが，勝手な ∃- 型が ∀-型になることだけで十分である．（論理式に出てくる ∃ を内側から順番に ∀ に変えてゆけばよい．）したがって，上の証明に使われていることを調べれば，条件１より見た目上弱い形： 1’ M ⊂ N が T の二つのモデルのとき，「∃-型の L(M)-閉論理式 φ に対して， M ⊧

φ ⟺ N ⊧ φ 」（M ≺_{∃} N）となる

も同値になることがわかる．しかし，注意しなければならないのは，「M ≺_{∃} N ⇒ M ≺ N」が成り立つと言っている訳ではない．

Exercise 7 T のモデル完全性は次の条件と同値になることを示せ．

(*) M が T のモデルのとき， T ∪ Diag(M) は完全になる．

Exercise 8 1. T を稠密全順序（最大最小元なし）の公理とする． T はＱＥを許す

（従ってモデル完全になる）ことを示せ．

2. M^{∗} = (ℚ, <) の部分構造 M = M^{∗} − [0, 1], N = M^{∗} − (0, 1) = M ∪ {0, 1} を考える． M ≺ M^{∗} を示せ．また， M ≺_{∃} N だが M ≺ N ではないことを示せ．（ヒント：上にあげて下に下げる．）

Exercise 9 注意 6 を参考にして，「M ≺_{∀} N」を妥当に定義せよ．またこのとき，「M ≺_{∀} N ⟺ M ≺_{∃} N」を示せ．

2 モデルコンパニオン

L で書かれた理論 T に対して， T の帰結となる ∀-型の L-閉論理式全体を T_{∀} とかく．すなわち， T のいかなるモデルでも成立する ∀-型の L-閉論理式全体である．

Lemma 10 T と S を L の理論とする．このとき次は同値である．

1. T_{∀} = S_{∀};

2. 任意の M ⊧ T は S のモデルに拡大され（すなわち N ⊧ T となる N ⊃ M が存在），任意の M ⊧ S は T のモデルに拡大される．

Proof. 1 ⇒ 2：1 を仮定する． M ⊧ T を勝手にとる． S′ = S ∪Diag(M) を考えよう．これがモデルを持てばよい．そうでなければ，コンパクト性により， φ(ā) ∈ Diag(M) を適当にとることにより， S ∪{φ(ā)} がすでにモデルを持たない．よって， S の勝手なモデルは ∀x̄¬φ(x̄) を満たす．よって， ∀x̄¬φ(x̄) ∈ S_{∀}． T_{∀} = S_{∀} により， M ⊧ ∀x̄¬φ(x̄)．よって， M ⊧ ¬φ(ā) でなければならない．矛盾．

2 ⇒ 1 ： φ を ∀-型として， φ ∉ T_{∀} とする．よって， M ⊧ T ∪{¬φ} となるモデルが存在する．２の仮定から M の拡大となる N ⊧ S をとる． ¬φ は ∃-型なので， N ⊧ ¬φ．よって， φ ∉ S_{∀} である． Definition 11 T と S を L の理論とする． S が T のモデルコンパニオン（model companion）であるとは，次の２条件が満たされることである：

1. S はモデル完全であり，

2. T_{∀} = S_{∀}．

Fact 12 T に関する次の条件は同値である：

1. T のモデルの拡大列 {M_{i}}_{i<ω} において， ⋃_{i} M_{i} も再び T のモデルになる．（T が拡大列で保存される．）

2. T と同等な ∀∃-型の閉論理式だけからなる理論 T′ が存在する．

Proof. （証明の概略） 2 ⇒ 1 は明らかである． 1 ⇒ 2 を示す． T からの帰結のうち ∀∃- 型のもの全体を T_{∀∃} とかく． M_{0} ⊧ T_{∀∃} を任意に選ぶ． Diag_{∃∀}(M_{0}) で M_{0} で成立する ∃∀-型の L(M)-閉論理式を表わすとする．このとき，次が簡単にわかる．

Claim 1 T ∪ Diag_{∀}(M_{0}) がモデルを持つ

N_{0} をそのようなモデルとすれば， M_{0} ≺_{∀} N_{0} ⊧ T である．同様にして，

Claim 2 T h(M_{0}, a)_{a∈M_{0}} ∪ Diag(N_{0}) はモデルを持つ

ことがわかる．そのようなモデル M_{1} をとれば， N_{0} ⊂ M_{1} でなおかつ M_{0} ≺ M_{1} となる．さらに， claim 1 と同様に，

Claim 3 T ∪ Diag_{∀}(M_{1}) はモデルを持つ

が示される．このモデル N_{1} は， M_{1} ≺_{∀} N_{1} ⊧ T を満たす．以下同様の議論の繰り返しにより，二つの列 {M_{i}}, {N_{i}} を

• M_{0} ⊂ N_{0} ⊂ M_{1} ⊂ N_{1} ⊂ ...

• {M_{i}}_{i} は基本拡大列

• {N_{i}}_{i} は T のモデルの拡大列

となるようにとることができる．よって， M^{∗} = ⋃ M_{i} = ⋃ N_{i} は M_{0} の基本拡大である．さらに１により， T のモデルにもなっている．よって，特に M_{0} は T のモデルになる．以上から，勝手な T_{∀∃} のモデルが T のモデルになることがわかった．

Remark 13 モデル完全な理論はモデルの拡大列で閉じている．したがって ∀∃-型の閉論理式の集合で書くことができる． Definition 14 M ⊧ T が T の EC モデル（existentially closed model）であるとは次が成立することである：

(*) ∃-型の L(M)-論理式 φ(x̄) が M の拡大となる N ⊧ T に解を持てば，実は，すでに M の中に解が存在する．

Exercise 15 上の定義の (*) の部分を次のようにそれぞれ変えても同等の定義になることを示せ：

1. (*) の「∃-型の L(M)-論理式」を「限量記号を持たない L(M)-論理式」に変える； 2. (*) 全体を「M ⊂ N ⇒ M ≺_{∃} N」に変える．

Remark 16 T が ∀∃-型の L-閉論理式からなる理論のとき，勝手な T のモデルは T の EC モデルに拡大される．これは， ∃-型論理式の解が存在しなければ，これらを順につけてゆき， T のモデルの拡大列を作ることができるからである．極限のモデルは ∃-型論理式の解が常に存在し，なおかつ T が ∀∃-型のことを考えると, T のモデルになっていることも分かる．（事実 12 参照のこと．）

Theorem 17 T を ∀∃-型の L-閉論理式からなる理論とする．このとき， L の理論 S に関する次の２条件は同値である．

1. S は T のモデルコンパニオンである．

2. M ⊧ S ⟺ M は T の EC モデルである．

Proof. 1 ⇒ 2 ： S が T のモデルコンパニオンのとき，勝手な M ⊧ S からはじめて T および S のモデルで交互に拡大してゆくことができる． S のモデル完全性と T が ∀∃ 型で書かれていることを考えると，極限のモデル M^{∗} は M ⊧ S の基本拡大で T のモデルになっている．したがって， M ⊧ T である．すなわち，「S のモデルはすべて T のモデル」になっている．

（⇒） M ⊧ S とする． M ⊂ N となる N ⊧ T を考える．上の構成により， M ≺ M^{∗}, N ⊂ M^{∗} となる M^{∗} が存在する． ∃-型の φ(x) が N に解を持てば， M^{∗} にも解を持ち，したがって M ≺ M^{∗} により， M にも解を持つ．よって， M は EC である．

(⇐) M ⊧ T をT のECモデルとする． M ⊂ N ⊧ S となるN をとる． ∀x∃yφ(x, y) ∈ S を勝手にとる．（φ に限量記号なし． S は ∀∃-型でかかれていることに注意する．）いま a ∈ M を勝手にとると， φ(a, y) の解は N ⊧ S には存在する． M が EC なので， M の中にも解がある．よって， M ⊧ ∀x∃yφ(x, y) となる．

2 ⇒ 1 ：２を仮定する． S のモデルはすべて T のモデルである．また M ⊧ T が与えられたとき， T が ∀∃-型なので， M を拡大して T の EC モデル N を得る．（注意 16 参照．）２により， N ⊧ S である．よって，モデルコンパニオンの定義の T_{∀} = S_{∀} はよい．次に S がモデル完全なことを示す． M ⊂ N を S の二つのモデルとする．ともに T のモデルとなり， M が EC なことにより， ∃-型の L(M)-閉論理式 φ に対して M ⊧ φ ⟺ N ⊧ φ である．したがって，注意 6 によって， S がモデル完全なことが分かる．

3 応用

QE およびモデル完全性の応用として， Hilbert の零点定理（Nullstellen Satz）を証明する．

Theorem 18 K を代数閉体とする． I = I(x̄) を K-係数多項式（変数 x̄）の作る環 K[x̄] のイデアルとする．このとき， I からの論理的帰結全体のイデアル

I^{∗} = {f(x̄) ∈ K[x̄] : K ⊧ ∀x̄(⋀_{g∈I} g(x̄) = 0 → f(x̄) = 0)}

は\sqrt{I} = \{f(x̄) ∈ K[x̄] : f^{n} ∈ I\} に一致する．

Remark 19 Hilbert の基底定理により， ⋀_{g∈I} g(x̄) = 0 の部分は有限個の conjunction g_{1}(x̄) = 0 ∧ ... ∧ g_{m}(x̄) = 0 と同等であり，論理式でかけている．

Proof. K ⊧ ∀x̄[(f(x̄))^{n} = 0 ↔ f(x̄) = 0] だから，\sqrt{I} ⊂ I^{∗} は明らかである．逆向きの包含関係が成り立たないとして，多項式 f(x̄) ∈ I^{∗} \ \sqrt{I} をとる．

1. K ⊧ ∀x̄(⋀_{g∈I} g(x̄) = 0 → f(x̄) = 0);

2. \{f, f^{2}, f^{3}, ...\} ∩ I = ∅. （よって \{f, f^{2}, f^{3}, ...\} ∩ \sqrt{I} = ∅ も成立．）

が成立していることに注意する． J ⊃ \sqrt{I} を \{f, f^{2}, ..\} ∩ J = ∅ を満たす極大なイデアルとする．

Claim 1 J は素イデアルである．よって， K[x̄]/J (⊃ K) は整域となり，体に拡大される．

実際 g, h ∉ J とすれば， J に g （または h）を付加したイデアルは J の極大性により条件２を満たさない．よって， f^{m} = j + g_{1}g， f^{n} = j′ + h_{1}h となる m, n ∈ ω, j, j′ ∈ J, g_{1}, h_{1} ∈ K[x̄] が存在する．辺ごとかけ合わせることにより， f^{m+n} − (g_{1}h_{1})(gh) ∈ J．よって gh ∉ J である． Claim 2 K[x̄]/J ⊧ ∃ȳ[⋀_{g∈J} g(ȳ) = 0 ∧ f(ȳ) ≠ 0].

K[x̄]/J の有限列としての x̄ を考える．（すなわち同値類列 [x_{1}], .., [x_{n}] を考える．）もちろん， ⋀_{g∈J} g(x̄) = 0 が成立している．しかし， f(x̄) ∉ J だから， K[x̄]/J ⊧ f(x̄) ≠ 0 が成立．

ACF は体の公理の model companion だから， K ≺_{∃} K[x̄]/J．したがって，

K ⊧ ∃ȳ[⋀_{g∈J} g(ȳ) = 0 ∧ f(ȳ) ≠ 0].

これは f の取り方（条件 1）に反する．