1 Generic Structures

３学期は有限構造の貼り合わせによって無限構造を作る方法について述べる．こうしてできる構造は generic structure とよばれる．最初に例としてランダムグラフについて述べる．一般論はその後で展開する．以下しばらく R(∗.∗) は２変数述語記号とする．

Definition 1 （グラフ） {R}-構造 G は次の条件を満たすとき，グラフと呼ばれる：

1. R は対称である． G ⊧ ∀x∀y[R(x, y) → R(y, x)]

2. R は非反射的である． G ⊧ ∀x[¬R(x, x)]

Remark 2 上の定義では，関係 R(a, b) が成り立つ２点 a,b は結ばれていると思う．我々のグラフは辺に向きのないグラフである．また２点を結ぶ辺は高々１本であり，自分自身を結び付ける辺はない．

Definition 3 （ランダムグラフ）グラフ G は次の条件 (∗)_{mn} （m, n ∈ ω; m+n ≥ 1）をすべて満たすとき，ランダムグラフとよばれる．

(∗)_{mn} 異なる m + n 個の点 a_{1}, ..., a_{m} ∈ G, b_{1}, ..., b_{n} ∈ G に対して， a_{i} たちとは結ばれていて， b_{j} たちとは結ばれていない点 c ∈ G が存在する．

各 (∗)_{mn} は論理式で表現できることに注意する．グラフであることを主張する論理式とすべての (∗)_{mn} をあわせてランダムグラフの公理（理論）とよぶ．

ランダムグラフは（存在すれば）無限グラフでなければならないことはわかる．しかし本当にこういうグラフは存在するのだろうか？以下で存在を示そう．

Proposition 4 ランダムグラフが存在する．

Proof. 有限グラフの拡大列 G_{i} (i ∈ ω) を帰納的に以下の条件 (i) を満たすように作る：

(i) A, B ⊂ G_{i} が A ∩ B = ∅ を満たせば，

G_{i+1} ⊧ ⋀_{a∈A} R(a, g_{AB}) ∧ ⋀_{b∈B} ¬R(b, g_{AB})

となる g_{AB} ∈ G_{i+1} が存在する．

このとき， ⋃_{i∈ω} G_{i} が求めるランダムグラフになる． Proposition 5 ランダムグラフはすべての有限グラフを部分構造として埋め込む．

Proof. G をランダムグラフとして， H = {h_{1}, ..., h_{n}} を有限グラフとする． h_{i} たちを順に G の中に部分構造として埋め込む．（埋め込んだ先は g_{i} とする．） h_{1} の行く先は G の勝手な元 g_{1} とする． h_{1}, ..., h_{i} ↦ g_{1}, ..., g_{i} が部分構造としての埋め込みのとき， h_{i+1} の行く先を決定する．ならべ替えにより， h_{1}, ..., h_{j} は h_{i+1} と結ばれていて， h_{j+1}, ..., h_{i} は h_{i+1} と結ばれていないと仮定できる．このとき， G がランダムグラフの公理を見たすので， g_{i+1} を h_{1}, ..., h_{j} とは結ばれていて， h_{j+1}, ..., h_{i} とは結ばれていないようい選べる．したがって， h_{1}, ..., h_{i+1} ↦ g_{1}, ..., g_{i+1} も部分構造としての埋め込みとなった．

Remark 6 上と同じ論法により，ランダムグラフはすべての可算グラフも埋め込む．

Definition 7 （可算範疇性） T を理論とする． T の可算モデルが同型を除いてただ一つ存在するとき， T は可算範疇的（ℵ_{0}-categorical）とよばれる．

Proposition 8 ランダムグラフの公理は ℵ_{0}-categorical である．

有限グラフの埋め込みの証明では像を順に作っていった．今度は像だけでなく原像も作ってゆく． G, G′ を二つの可算ランダムグラフとする． G = {g_{i} : i ∈ ω},G′ = {g′_{i} : i ∈ ω} とならべておき， i が偶数のときは g_{i} の行く先（G′ の元）を決め， i が奇数のときは， g′_{i} にゆくべき元（G の元）を決めてゆく．決めかたは有限グラフの埋め込みの場合と同じである．

さて一般論に移ろう．以下では， L は述語記号だけからなる有限言語とする．有限 L-構造全体を K であらわし， K ⊂ K とする．便宜上 ∅ も有限 L-構造とみなす． K は以下の条件を満たすものとする．

• ∅ ∈ K,

• A ∈ K, A_{0} ⊂ A ならば A_{0} ∈ K.

K は（K に属するもので同型なものは同一視すれば）可算集合になっていることに注意しておく．以下において A ∈ K とは A と同型なものが K に属するという意味である．

Definition 9 K が融合性（Amalgamation Property, APと略す）を持つとは， A ⊂ B, A ⊂ C で B, C ∈ K ならば，次の条件を満たす D ∈ K が存在する： 1. B は D の中に A を固定する同型によって埋め込まれる．（∃σ : B → D （埋め込

み） s.t. σ|A = id_{A}）；

2. C は D の中に A を固定する同型によって埋め込まれる．

このような D を B と C の A 上の融合とよぼう．

Example 10 1. K = K は AP を持つ． A ⊂ B, C ∈ K が与えられたとき， B∩C = A となるように点をずらしておく．集合 D = B ∪ C を以下のように L-構造にする： P ∈ L のとき， P^{D} = P^{B} ∪ P^{C} とする．すなわち， P の解釈はもともとの構造の上にあったものだけとする．明らかに D は B や C を（A 上）埋め込む．（上の融合 D を B ⊕_{A} C とかく．）

2. グラフ G 内の点 a がどの点とも結ばれていないとき，孤立点と呼ぼう． K を孤立点が n 個以下の有限グラフ全体とする．このとき， K は AP を持つ．しかし A ⊂ B, C に対して，単純に融合 B ⊕_{A} C を作ると，孤立点が増えるかも知れない．そこで，融合をするときに，「節約して」行う必要がある． B_{0} ⊂ B と C_{0} ⊂ C を A 上同型になる極大な部分グラフたちとする． A 上の同型による同一視により， B_{0} = C_{0}(= A^{∗}) と仮定できる． B ⊕_{A^{∗}} C を作れば，この中に孤立点は n + 1 個はない．実際，孤立点が n + 1 個に増えたとすれば，（B, C それぞれの中には n 個以下なので）孤立点 b ∈ B \ A^{∗}, c ∈ C \ A^{∗} が存在する．このとき， b と c は A^{∗} 上同型である．これは A^{∗} の極大性に反する．（この例は条件「A_{0} ⊂ A ∈ K ⇒ A_{0} ∈ K」は満たさない．）

Theorem 11 K がＡＰを持てば， L-構造 M で次の条件をすべて満たすものが存在する．

1. M は可算である．

2. A ⊂_{fin} M のとき， A ∈ K である．

3. A ⊂ M， A ⊂ B ∈ K のとき， B と A 上同型なコピー B′ ⊂ M が存在する．

Proof. K は可算無限としてよい． {(A_{i}, B_{i}) : i ∈ ω} を A ⊂ B ∈ K なる対 (A, B) 全体をならべたものとする．また同じ対がこの並びの中に無限回現れると仮定する． K に属する有限 L-構造の拡大列 M_{i} (i ∈ ω) を帰納的に作る． M_{0} = ∅ からはじめて， M_{i} まで構成されたとする．このとき， A_{i} と同型な M の部分構造全体を一列にならべて， A_{i}^{0}, ..., A_{i}^{m} とする．これらに対応して， B_{i} のコピー B_{i}^{0}, ..., B_{i}^{m} をとる．最初に M_{i} と B_{i}^{0} の A_{i}^{0} 上の融合をとる．次にこの融合と B_{i}^{1} の A_{i}^{1} 上の融合をとる．以下同様に， B_{i}^{j} たちを次々に融合してゆく．最後に B_{i}^{m} と融合した結果を M_{i+1} ∈ K とする．

M = ⋃_{i∈ω} M_{i} とすれば，条件１，２は明らかに成立する．条件３について考えよう． A ⊂ M, A ⊂ B ∈ K のとき，対 (A, B) と等しい (A_{i}, B_{i}) がある．したがって， B と同型な B′ が M_{i+1} の中に存在する．

Remark 12 上の定理の条件 1-3 を満たす M を K-generic という． K-generic な L-構造は同型を除いてただ一つである．証明は back-and-forth による： M, N を定理の条件を満たす L-構造とする． M = {a_{i}}_{i∈ω}, N = {b_{i}}_{i∈ω} と一列に並べておく．可算性（条件１）からこれは可能である． σ_{0} = ∅ から始めて， M から N への部分同型 σ_{i} を次の条件を満たすように作ってゆく：

1. σ_{0} ⊂ σ_{1} ⊂ ... ⊂ σ_{i} ⊂ σ_{i+1} ⊂ ...

2. i が奇数のとき， dom(σ_{i+1}) ∋ a_{i};

3. i が偶数のとき， ran(σ_{i+1}) ∋ b_{i}．

σ_{i} まで出来たと仮定する． i は奇数と仮定してよい．このとき， A = dom(σ_{i}), A′ = ran(σ_{i}), B = A ∪ {a_{i}} とする．条件２により， B ∈ K である．また， A ≅ A′ から，この同型による同一視により， A′ = A と思ってよい．条件３から B′ ∈ K を B ≅_{A} B′ となるように選ぶことができる．この同型写像を σ_{i+1} とすればよい．（偶数のときも同様である．）最終的に σ = ⋃_{i∈ω} σ_{o} が M と N の同型を与える．

Example 13 可算のランダムグラフは K = { 有限グラフ全体} に対する K-generic structure になっている．

2 K-generic structures （より一般の状況）

以下の議論は筑波で行なわれた池田氏の講演を参考にしている． K は有限 L-構造のあるクラスとする． ∅ ∈ K および部分構造で閉じていることは今回も仮定する．また同型なものを同一視することにより， K は可算としてよく， A ∈ K は A と同型なものが K に属することを意味する． K 上の擬順序 ≤ は包含関係の順序 ⊂ を強めたもので，さらに次の条件を仮定する：任意の A, B, C ∈ K に対して，

1. ∅ ≤ A ≤ A;

2. A ≤ C, A ⊂ B ⊂ C ⇒ A ≤ B;

3. A ≤ B, ⇒ A ∩ C ≤ B ∩ C.

4. B(⊃ A) が A ≤ B を満たさない中で極小のとき， A ⊂_{min} B とかくことにすると， ⊂_{min} に関する無限上昇列は存在しない．

Remark 14 ⊂ 自体は上の ≤ に対する条件をすべて満たすことに注意する．

Definition 15 L-構造 M が次の条件を満たすとき， K-generic であるといわれる．

1. M は可算である；

2. A ⊂_{fin} M のとき， A ∈ K である；

3. A ≤ M, A ≤ B ならば B と A 上の同型なコピー B′ ≤ M が存在する．（∃B′ ≤ M s.t. B ≅_{A} B′.）

ただし， A ≤ M は A を含む任意の M の有限部分について A ≤ M が成り立つことである．

A ≤ B のとき， A を B の strong submodel ということがある．この言葉を使えば，条件２の結論部分は「B を M の strong submodel として A 上埋め込むことができる」と表現される．このような K-generic が存在するための K の条件を与えたい．

Definition 16 K が AP を満たすとは，

(*) A ≤ B ∈ K, A ≤ C ∈ K ならば D ∈ K と B′ ≤ D, C′ ≤ D で B ≅_{A} B′, C ≅_{A} C′ となるものが存在する．（B,C を D の strong submodel として A 上埋め込むことができる．）

Theorem 17 K が AP を持てば， K-generic なモデル M が存在する．

Proof. 証明は定理 11 （≤ が ⊂ のとき）とほとんど同じである．

Remark 18 K-generic な構造は同型を除いて一つしかない．このために， K の条件４が必要になってくる．具体的には A ⊂ M のとき A ⊂ B ≤ M となる B ∈ K が存在することが back-and-forth を行なうとき必要になる．条件４があれば大丈夫である： A から始めて M の元による ⊂_{min}- 上昇列 {A_{i}}_{i≤n} を極大にとる．このとき， A_{n} ≤ M でなければならない．

3 局所次元によって定義されるクラス

以下しばらくの間， R を n-変数述語記号として， L = {R} とおく． A, B, ... などは symmetric な有限 L-構造を表すとする．すなわち， A においては，

A ⊧ R(a_{1}, ..., a_{n}) ⟺ A ⊧ R(a_{σ(1)}, ..., a_{σ(n)})

が任意の permutation σ ∈ Sym({1, ..., n}) に対して成立すると仮定する． A の局所次元（あるいは predimension）と呼ばれる δ(A) を以下の式で定義する：

δ(A) = |A| − |R^{A}|,

ただし， R^{A} は A において R を満たす点列の（permutation を除いた）全体を表す．（点列 (a_{1}, ..., a_{n}) と (a_{σ(1)}, ..., a_{σ(n)}) は同一視する．）

Example 19 R を 2 変数とする．グラフは symmetric な R-構造とみなせる． A = {a, b, c} として， a と b は線でつながれ， b と c も線でつながれているとする．このとき， δ は点の数-線の数で与えられるので， δ(A) = 3 − 2 = 1 である．

Definition 20 （相対次元） δ(A/B) = δ(AB) − δ(B). （ただし， AB は A ∪ B の略記である．今後この略記は常に使う．）

Lemma 21 1. δ(A/B) = δ(A \ B) − |R(A \ B, B)|．ただし R(A \ B, B) は R を満たす点列で， A \ B と B 両方にまたがるもの全体を示す．

特に A ∩ B = ∅ のときは， δ(A/B) = δ(A) − |R(A, B)|.

2. A ∩ B = ∅, B_{0} ⊂ B のとき， δ(A/B) ≤ δ(A/B_{0})．（単調性））

Proof. 1. δ(A/B) = |AB| − |R^{AB}| − (|B| − |R^{B}|) = |A − B| − (R^{AB} − R^{B}) である．また， R^{AB} = R^{A\B} ∪ R^{B} \ R(A \ B, B) である．よって，

δ(A/B) = δ(A \ B) − |R(A \ B, B)|.

2. 1 により， δ(A/B) = δ(A) − |R(A, B)|, δ(A/B_{0}) = δ(A) − |R(A, B_{0})|．しかし R(A, B) ≥ R(A, B_{0}) だから結論の式を得る．

Definition 22 A ⊂ B に対して， A ≤ B ⟺ ∀C(A ⊂ C ⊂ B ⇒ δ(C/A) ≥ 0)

上の定義は X ⊂ B \ A に対して， δ(X/A) ≥ 0 が常に成り立つこととしても同値になる．（当たり前）

さてこの ≤ を使って，有限 L-構造のクラス K を

K = {A : δ(A_{0}) ≥ 0 (∀A_{0} ⊂ A)}

と定義する．すなわち，どんな部分集合も局所次元が０以上になっているもの全体である．全章と同様に ∅ も δ(∅) = 0 の L-構造と考える．

Lemma 23 ≤ は K 上の順序であり，この順序のもとに K は全章の K に科せられた条件１−４を満たす．

1. ∅ ≤ A ≤ A;

2. A ≤ C, A ⊂ B ⊂ C ⇒ A ≤ B;

3. A ≤ B, ⇒ A ∩ C ≤ B ∩ C.

4. ⊂_{min} に関する無限上昇列は存在しない．

Proof. 最初に ≤ が推移律を満たすことを示そう． A ≤ B ≤ C とする． X ⊂ B \ A, Y ⊂ C \ B とする． δ(XY/A) ≥ 0 を示せばよい．これは次のように示せばよい： δ(XY/A) = δ(XY A) − δ(XA) + δ(XA) − δ(A) = δ(Y/XA) + δ(X/A) ≥ δ(Y/B) + δ(X/A) ≥ 0 + 0.

1,2 は明らかである．

３． X ⊂ B ∩ C \ A とする．このとき， δ(X/A ∩ C) ≥ δ(X/A) ≥ 0 である．最初の不等号は単調性，次の不等式は A ≤ B による．

４． A ⊂_{min} B ならば， δ(B) は δ(A) より１以上小さい．したがって，もし A から始まる K の元の無限列が存在したとすれば，次元が１（以上）ずつ減っていくのでいつかは負になる．この構造は， K に属さないので矛盾．

Remark 24 1. p, q ∈ ℚ^{+} とするとき， δ(A) を p|A| − q|R^{A}| で定義してクラス K を作っても，１−４は成立する．多少問題といえば，４だけだがこれも大丈夫．

2. K の部分クラスも１−４の条件を満たす．これは１−４の条件は「任意の K の元に対して」という形をしているためである．

4 Hrushovski の例

ℵ_{0}-categorical stable pseudoplane が存在することを示そう．この例から ℵ_{0}-categorical で merely stable な理論の存在がわかる．最初に擬平面の定義を復習しておく：(P, L, ∈) が擬平面（P が点の集合， L が直線の集合，そして p ∈ l は直線が線の上にあることを意味している）であるとは，

• 各点を通る無限個の直線がある；

• 各直線の上に無限個の点がある；

• ２点を通る直線は高々有限個である（ないかも知れない）；

• ２直線の交点は高々有限個である（ないかも知れない）．

以下の議論は Wagner 氏の論文と池田氏の筑波での講演を参考にしてある．（もちろん Hrusovski 氏の論文がもとになっている．）この章ではグラフを２変数述語記号 R の構造と考える． R^{A} は R-構造 A の中で R を満たす R^{2} の点の集合であるが（前章と同様に）辺の数と考えるために， (a, b), (b, a) ∈ R^{2} を同一視して考えている．

無理数 α 固定して局所次元 δ(A) を δ(A) = |A| − α|R^{A}| で定義する． (K_{f}, ≤) は前章で K に科した条件１−３を満たす．４を満たすことは別に見る必要がある．（α は無理数であることに注意．）関数 f : ℝ → ℝ を f(0) = 0 なる単調増加関数としておく． f によって作られる有限グラフのクラス K_{f} を

K_{f} = {A : δ(A_{0}) ≥ f(|A_{0}|) (∀A_{0} ⊂ A)}

で定義する．

A ∈ K_{f} ⟺ ∀A_{0} ⊂ A，対応する点 (|A_{0}|, δ(A_{0})) は曲線 f の上方にある

に注意する．

以下で f を特定の関数として選ぶ． 1/α ∈ ℝ^{+} の有理数での下からの近似を考える． a_{α}(0) = 0 として， n ∈ ω − {0} に対して， a_{α}(n) = k_{n}/m_{n} を分母が n 以下の有理数による 1/α の下からの近似で最もよい（1/α に最も近い）ものとする：

a_{α}(n) = max{k/m ∈ ℚ : m ≤ n, k/m ≤ 1/α}

また， f を f(0) = 0; n ∈ ω − {0} に対して，

f(n) = (1 − α a_{α}(0)) + ⋯ + (1 − α a_{α}(n − 1))

と定義する． αa_{α}(i) は１に近く（１以下）なので，各項は０以上の小さい数である．よって関数 f は単調増加になる．さらに近似はだんだんよくなるので，加わる各項はだんだん小さくなる．よって f は上に凸である． Lemma 25 K_{f} は AP を持つ．

Proof. A ≤ B, C ∈ K_{f} とする．このとき直和 B ⊕_{A} C が K_{f} に属すことを示す．このためには， B ⊕_{A} C の任意の部分構造に対応する点が曲線 f より上にあることを言わなければならない．しかし， B ⊕_{A} C の部分構造は再び直和の形になるので B ⊕_{A} C に対応する点が f より上にあることを言えば十分．次はやさしい：

Claim A D = B ⊕_{A} C に対応する点はベクトル AB, AC の和に対応する点である．（四角形 ABCD が平行四辺形になる点．）

今 AB の傾きが AC の傾きよりも小さいとする．このとき， D が f の上にあることを示すためには次を言えば十分である．

Claim B AB の傾きは f′(|B|) 以上である．

両辺を計算する．

• AB の傾き = \frac{δ(B)−δ(A)}{|B|−|A|} = 1 − α\frac{|R^{B}|−|R^{A}|}{|B|−|A|}．

• f′(B) = 1 − αa_{α}(|B|)

ここで A ≤ B より，\frac{|R^{B}|−|R^{A}|}{|B|−|A|} ≤ 1/α．また a_{α}(|B|) は 1/α の分母が |B| 以下の最良の

近似であるから，\frac{|R^{B}|−|R^{A}|}{|B|−|A|} ≤ a_{α}．したがって，目的の式を得る．

したがって， (K_{f}, ≤) には generic structureM が存在する．

以下の補題のためには， f が無限大に発散していることが必要となる．無限大に発散する α の存在は後に示す．

Lemma 26 （f が無限大に発散するとき） M ≡ N なる可算の N も generic structure である．

Proof. このためには大まかに言って次の二つのことを言う必要がある：

• N は K_{f} の元から作られている；

• K_{f} の元を strong に埋め込む．（詳しくは generic の定義を参照のこと．）

最初の条件は論理式で書けるので N ≡ M でも成立する．

２番目の条件は A が与えられたときに，一定の大きさ以上 B ⊃ A に対しては常に δ(B) ≥ δ(A) が成立している状況ならば（すなわち， strong になっていない反例を探すのが有限の範囲でよければ） A ≤ M を論理式でかくことができるので， N ≡ M に対しても２番目の条件が成り立つ．例えば， f が単調増加で無限大に発散している場合なら大丈夫である． Lemma 27 f が無限大に発散するような α ∈ ℝ が存在する．

Proof. α ∈ ℝ に対して， lim_{n→∞} f(n) を α の指標と呼び i(α) とかくことにする． X_{m} ⊂ ℝ を指標が m より大きくなる点 α の集合とする．

Claim A X_{m} は open である．

α ∈ X_{m} とする． α に対する f をはっきりさせるために f_{α} とかく． lim_{n→∞} f_{α}(n) > m だから，有限の k ですでに f_{α}(k) > m となる．このような最小の k を考える．最小性により， 1/α と a_{α}(k −1) の間には隙間があり，この隙間に 1/β が属するとき a_{α}(i) = k_{β}(i) (i = 1, ..., k − 1) が成立する．よって， f_{β}(k) = ∑_{i≤k−1} 1 − βa_{α}(i) は β が α に近づくとき f_{α}(k) に近づく．したがって，十分 α に近い β に大しては f_{β}(k) > m となる．（1/β > 1/α のときも同様の議論．）

Claim B X_{m} は dense である．

任意の開区間I の中にX_{m} の元があることを示せばよい． p/q ∈ I を勝手にとる． N ∈ ω を十分大きくとり，

∑_{n=1}^{N} \frac{1}{n} ≥ 2qm

が成り立つようにしておく．さらに R を max{k_{0}, ..., k_{N}, q} に対して十分大きくとる． α = p/q + 1/R が求める I の元である．これを示そう． n ≤ N として，指標の定義に出てくる各項を計算すると次のようになる．

1 − αa_{α}(n) = \frac{1}{m_{n}} (m_{n} − αk_{n})
= \frac{1}{m_{n}} (m_{n} − (\frac{p}{q} + \frac{1}{R})k_{n})
= \frac{1}{m_{n}} (\frac{qm_{n} − pk_{n}}{q} − \frac{k_{n}}{R} ) .

この値は ≥ 0 だから，最後の式の括弧の中の最初の項 (qm_{n} − pk_{n})/q は正でなければならない，よって 1/q 以上である．さらに， 1/m_{n} ≥ 1/n, であり， R が十分大きいことから，

\frac{k_{n}}{R} ≤ \frac{1}{2q}

となる．このことから，各項の値は

1 − αa_{α}(n) ≥ \frac{1}{n} · \frac{1}{2q}

となっている．よって f_{α}(N) ≥ \frac{1}{2q} ∑_{n=1}^{N} \frac{1}{n} ≥ m となる．

したがって ⋂_{m∈ω} X_{m} から元 α がとれる (Baire Categoricity Theorem)．この元は無限の指標を持ち，自動的に α は無理数となる．さらに 3/4 < α < 1 と仮定しておくことができる．（グラフが四角形を持たないことを示すために必要となる．）以下この α をもとに議論する．

M 上に「点の集合」と「線の集合」ならびに「点が線の上にある」という関係を持つ構造 (P, L, ∈) を定義する．

• P = M, L = M;

• p ∈ l ⟺ R(a, b)

Lemma 28 上の構造 (P, L, ∈) は擬平面である．

Proof. P, L が対象なので４つある条件のうち二つを示せばよい．最初に f の値をいくつか計算しておくと， f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 2 − α > 1, f(3) = 3 − 2α, f(4) = 4 − 3α > 4 − 4α となる．２点以上持つ集合 A の局所次元は１より大きい．したがって， 1 点 a は必ず， a ≤ M （strong）である．

a ∈ P を通る直線が無限個あることを示そう． a と結ばれている n 個の元 I （I どうしは結ばれていない）をとり，グラフ aI を考える． aI ∈ K_{f} である^{1} ．また a ≤ aI だから I は M の中に埋め込まれる．

次に 2 点 a, b を通る直線が二つ以上ないことを示す．もしこのような l, m があれば，グラフとして， albn は四角形になる．よって δ(albn) = 4 − 4α < f(4) となってしまい， K_{f} に属さないことになる．

最後に T が stable になることを示す． T が stable になることを示すためには，タイプの数（論理式で区別される元の最大個数）が多くないことを示せばよい．そのために準備が必要になる．十分大きい N ≡ M を一つ固定してこの中で議論をする．以下のかなりの部分は一般論として成立する． N の有限部分集合 A に対して，

d(A) = min{δ(A′) : A ⊂ A′ ⊂_{fin} N}

とおく． f が無限大に発散することからこの値は存在する．また， d(A) を与える A′ のうち最小のものが存在する．（A ≤ B ⇒ A ∩ C ≤ B ∩ C を使え．）それを\overline{A} とかく．明らかに d(A) = δ(\overline{A}) である．\overline{A} = A となるとき， A は closed ということにする． Remark 29 1. A ⊂ \overline{A}: \overline{A} の定義より明らか．

1f(n + 1) = (1 − αk_{α}(0)) + ⋯ + (1 − αk_{α}(n)) ≤ (n + 1) − nα ≤ δ(aI) に注意．

2. A ⊂ B ⇒ \overline{A} ⊂ \overline{B}: A ⊂ B のとき１を使うと A ⊂ \overline{B}. \overline{B} は A を含む closed set となる．\overline{A} は A を含む closed set の中で最小だから\overline{A} ⊂ \overline{B}.

3. \overline{\overline{A}} = \overline{A} ：\overline{\overline{A}} は\overline{A} を含む最小の closed set. \overline{A} 自体が closed なので\overline{\overline{A}} = \overline{A}．

4. A が無限集合のとき，\overline{A} = ⋃\{\overline{A}_{0} : A_{0} ⊂_{fin} A\} とする．相対次元も δ のときと同様に，

d(a/A) = d({a} ∪ A) − d(A)

で定義する．^{2} Lemma 30 （単調性）

1. a ⊂ b のとき， d(a/C) ≤ d(b/C),

2. A ⊂ B のとき， d(a/A) ≥ d(a/B) Proof. A, B を有限の closed と仮定する（そうでない場合も同様）． d(a/A) = δ(\overline{Aa})− δ(A) ≥ δ(\overline{Aa}) − δ(\overline{Aa} ∩ B) ≥ δ(\overline{Aa} − B/\overline{Aa} ∩ B) ≥ δ(\overline{Aa} − B/B) = δ(\overline{Aa}/B) = d(\overline{Aa}/B) ≥ d(a/B). Lemma 31 有限集合 A, B, C が closed で A = B ∩ C とする．

d(B/C) = d(B/A)

を満たせば， B ∪ C は closed であり， B と C は A 上 free である（BC = B ⊕_{A} C）． Proof. d(B ∪ C) = d(B/C) + d(C) = d(B/A) + d(C) = d(B) + d(C) − d(A) = δ(B) + δ(C) − δ(A) ≥ δ(B ∪ C). これは B ∪ C が closed を示す．さらに等号が成立することから free になることもわかる．

Lemma 32 有限集合 A, B, C が closed で A = B ∩ C とする． d(B/C) = d(B/A) ならば，任意の部分集合 B_{0} ⊂ B に対しても， d(B_{0}/C) = d(B_{0}/A) が成立する． Proof.

2A が無限のときも inf で定義する．すなわち， d(a/A) = inf{d(a/A_{0}) : A_{0} ⊂_{fin} A}．

d(B_{0}/A) ≤ d(\overline{B_{0}A} ∩ B/A) (単調性)
≤ δ(\overline{B_{0}C} ∩ B/A)
= δ(\overline{B_{0}C} ∩ B/C) (B and C が free over A だから)

また BC が closed だから， (\overline{B_{0}C} ∩ B)C = \overline{B_{0}C} が成立する．したがって，最後の式は δ(\overline{B_{0}C}/C) = d(B_{0}/C) に等しい．

Remark 33 1. 補題 32 は C が無限でも成立する． d(B_{0}/C) = α とする．このとき，各 n ∈ ω −{0} に対して， C_{n} ⊂_{fin} C を d(B_{0}/C_{n}) < α+1/n となるように選べる．また， C_{n} は closed で， B_{n} = B ∩C_{n} は B_{0} ∩A を含むとしてよい．よって， B_{0} を膨らませておくことにより， B_{0} ∩ C_{n} = B_{n} を仮定できる．このとき，有限の場合の補題 32 により， d(B_{0}/C_{n}) = d(B_{0}/B_{n})．よって， d(B_{0}/B_{n}) < α +1/n．よって， d(B_{0}/B) ≤ α．逆向きの不等式は明らか．

2. 補題 31 は B, C が無限のときも成立する（上の補題 32 を使う）．すなわち， 2 番目の条件が各有限の B_{0} ⊂ B に対して d(B_{0}/C) = d(B_{0}/A) に代えて成立すれば，同じく B ∪ C が closed になることが言える：有限の B_{0} ⊂ B, C_{0} ⊂ C が与えられたとき， D = \overline{B_{0}C_{0}} とおく．改めて B ∩ D を B_{0}， C ∩ D を C_{0} とおくことにより， B_{0}, C_{0} は closed と仮定できる． D_{0} = D − BC が空でないと仮定して矛盾を導く．このとき， δ(D_{0}/B_{0}C_{0}) = −2ϵ < 0 でなければならない^{3}．次に closed な A_{0} ⊂_{fin} A を十分大きく選んで， d(B_{0}/A_{0}) < d(B_{0}/A) + ϵ, d(C_{0}/A_{0}) < d(C_{0}/A) + ϵ，とする．このとき，

d(B_{0}C_{0}/A_{0}) ≥ d(B_{0}C_{0}/A)
= d(B_{0}/AC_{0}) + d(C_{0}/A) (単調性より A が無限でもよい)
= d(B_{0}/A) + d(C_{0}/A) (lemma 32)
> d(B_{0}/A_{0}) + d(C_{0}/A_{0}) − 2ϵ
≥ δ(B_{0}/A_{0}) + δ(C_{0}/A_{0}) − 2ϵ
≥ δ(B_{0}C_{0}/A_{0}) − 2ϵ

一方で， δ(D_{0}/B_{0}C_{0}A_{0}) ≤ −2ϵ と δ(D_{0}/A_{0}) ≥ 0 により，

d(B_{0}C_{0}/A_{0}) ≤ δ(D_{0}B_{0}C_{0}/A_{0})
= δ(B_{0}C_{0}/A_{0}) + δ(D_{0}/B_{0}C_{0}A_{0})
≤ δ(B_{0}C_{0}/A_{0}) − 2ϵ.

3δ(D/B_{0} ∪ C_{0}) ≥ 0 とすれば， B_{0} ∪ C_{0} を含むうちで一番 δ が下がるのが D なのに，その値が δ(B ∪ C) に一致（以上）するので B ∪ C は closed になってしまう．

Lemma 34 A ⊂ B, A, B は closed． tp(a/A) = tp(b/A), d(a/B) = d(a/A), d(b/B) = d(b/A), \overline{aA} ∩ B = \overline{bA} ∩ B = A とすれば， tp(a/B) = tp(b/B)．

\overline{aA} と\overline{bA} は A 上同じタイプを持つ．（A 上の formula で区別されない．）補題 31 により，\overline{aA} ∪ B, \overline{bA} ∪ B はともに closed である．また，グラフとして同型である．よって，タイプが等しい．

Lemma 35 T = Th(M) は stable である．

Proof. B ≤ N とする． B 上のタイプが少ない（|B| に毛の生えた程度しかない）ことを言えばよい^{4}． a ∈ N に対して，可算集合 A ⊂ B を d(a/B) = d(a/A), \overline{dA} ∩ B = A となるように選べる．このとき，上の補題 34 により， tp(a/B) は tp(a/A) によって決定される．よって， B 上のタイプの個数は， A のとり方と可算集合 A 上のタイプの数を掛け合わせればでる．すなわち， |B|^{ℵ_{0}} × 2^{ℵ_{0}} である．（この値は |B| が 2^{ℵ_{0}} 以上で，なおかつ |B|^{ℵ_{0}} = |B| を満たす場合は B に一致する．）

4完全な理論 T が stable とは，ある無限基数 λ が存在して，任意の M ⊧ T と任意の B ⊂ M(|B| ≤ κ)

に対して B 上のタイプの集合の濃度が λ 以下になることである．