サマースクール＠山中湖（2000年）

坪井明人

8/7-8/10

Abstract

本講演では，安定性と単純性の基本的事項を解説します．特に重要なことは，これら安定性または単純性の条件のもとに，抽象的な（forking による）独立性の概念が定義されることです．

しかし，残念ながら非常に簡単な説明しかできません．拙著「モデルの理論」（河合出版）とホームページにおいてある「単純理論講義」「００年論理学ノート」に詳しい証明がのっていますので，そちらを参考にしてください．

解説する主な内容は次のとおりです：

1. １時間目：

(a) L-構造，ウルトラプロダクト，コンパクト性，基本拡大鎖，

(b) タイプ，飽和モデル

(c) 安定性とタイプの定義可能性

2. ２時間目：

(a) 論理式による分割，樹形図

(b) 安定性と単純性

3. ３時間目：

(a) Ramsey の定理， Erdös-Rado の定理

(b) Forking による独立概念

(c) Independence Theorem

1 1 時間目

1.1 ごく基本

一般に数学を表現するのに必要な記号の集合（定数記号，関数記号，述語記号）を\underline{言語}という．例えば，群の言語は単位元を表わす定数記号 e, 群演算を表わす２変数関数記号 ∗ · ∗, 逆元を対応させる関数ための１変数関数記号 ∗^{−1} からなる．ここで ∗ はそこに何かを代入できることを示している．

しかし，我々の立場は，もっと抽象的である．すなわち，最初に一つの単なる記号の集合としての言語を与え，その言語の具現化（意味を与えること）としての構造を考えるという立場をとる．

(*) 言語は（高々）可算のものしか扱わない．大抵のことは，少し頑張れば，可算でなくてもできる．でも表現が面倒になったりするので，とりあえずここでは可算です．

Definition 1 （構造） L = {c_{i} : i < α} ∪ {F_{i} : i < β} ∪ {P_{i} : i < γ} を一つの言語とする．ただし， c_{i} は定数記号， F_{i} は m_{i} 変数の関数記号， P_{i} は n_{i} 変数述語記号とする．次の条件を満たす対

(M; {c_{i}^{M}}_{i<α}, {F_{i}^{M}}_{i<β}, {P_{i}^{M}}_{i<γ})

を一つの\underline{L-構造}とよぶ：

1. M ≠ ∅

2. c_{i}^{M} ∈ M (i < α)

3. F_{i}^{M} : M^{m_{i}} → M (i < β)

4. P_{i}^{M} ⊂ M^{n_{i}} (i < γ)

c_{i}^{M} を定数記号 c_{i} の M における解釈とよぶ．同様に F_{i}^{M} は関数記号 F_{i} の解釈， P_{i}^{M} を述語記号 P_{i} の解釈とよぶ． M を上の構造のユニバース（領域）とよぶ．誤解のない場合は，対 (M; {c_{i}^{M}}_{i<α}, {F_{i}^{M}}_{i<β}, {P_{i}^{M}}_{i<γ}) をかく代わりに単に M とかいて，構造全体を表わすことが多い．

群 G の部分群 H とは，単位元を含み，演算（積と逆元）で閉じた部分集合であった．同様の考えによって， L-構造 M の\underline{部分構造}N とは，

• 定数記号の解釈をすべて含み

• 関数記号の解釈で閉じている

部分集合のことと定義する．部分構造 N は自然に（制限により） L-構造になる．

言語 L が与えられると，言語と変数記号（x,y,...）を論理記号（∧, ∨, ¬, →, ∀, ∃）でつないで\underline{（１階） L-論理式}を作ることができる．論理式とは命題と考えてよい．例えば， x = y, ∀x∃y(x·y = e) は群の言語の論理式である．前者での変数 x, y と後者での変数 x, y は役割が違う．前者のようにそこに代入させることが可能な形の変数を\underline{自由変数}，後者のような変数（∀ や ∃ がくっついている変数）を\underline{束縛変数} という．自由変数のない論理式を\underline{閉論理式}という． L-閉論理式 φ は与えられた L-構造 M で成立するかどうかが自然に決まる． M で φ が成立するとき， M ⊧ φ とかく． N ⊂ M を部分 L-構造とする． N が M の\underline{基本部分 L-構造}（elementary substructure）であるとは，任意の L-論理式 φ(x_{1}, ..., x_{n}) （自由変数 x_{1}, ..., x_{n}）と a_{1}, ..., a_{n} ∈ N に対して， M ⊧ φ(a_{1}, ..., a_{n}) ⟺ N ⊧ φ(a_{1}, ..., a_{n}) が成立することである．

Example 2 L を群の言語とする．また M を L-構造とする．

1. すべての M が群になるわけではない．

2. M が群である ⟺ M ⊧ 群の公理 ⟺ M ⊧ ∀x, y, z[x · (y · z) = (x · y) · z] ∧ ∀x[x · x^{−1} = x^{−1} · x = e]

Definition 3 I を無限集合とする． U ⊂ P(I) が I 上の\underline{ウルトラフィルター}であるとは，

1. U は有限交叉性を持つ ⟺ U の勝手な有限部分集合 F ⊂ U は共通部分

を持つ（すなわち， ∀ \underbrace{A_{1}, ..., A_{n}}_{finite} ∈ U に対して， A_{1} ∩ ... ∩ A_{n} ≠ ∅）．

2. U が I 上のウルトラフィルター ⟺ U は有限交叉性を持つ P(I) の部分集合の中で極大である（すなわち， U 自体は有限交叉性を持ち,U の真の拡大はもはや有限交叉性を持たない）．

Remark 4 F ⊂ I が有限交叉性を持つとき， F はウルトラフィルターに拡大される（Zorn の補題を使えばよい）．もう少しうそっぽい証明では，次のようになる： F が極大なら，それでおしまい．そうでなければ，もっと大きなものが存在する．それがウルトラフィルターならおしまい．そうでなければまた少し拡大する．これを続ければ最終的に極大な集合（ウルトラフィルター）になる．でもこの程度の証明だと同様の議論で，非可算集合の中の極大な可算集合の存在も言えてしまいそうですが．．．．

Example 5 ℕ の cofinite 集合の全体を F とする． F は有限交叉性を持つので，ウルトラフィルター U に拡大することができる． U を\underline{フレシェフィルター}とよぶ．

各 i ∈ I に対して， L-構造 M_{i} が与えられているとする．直積集合 N = ∏_{i∈I} M_{i} を考える．各 M_{i} が群のときは N も群になる．しかし， M_{i} が体のときは， N は環にはなるが，体にはならない．体にするためには，極大イデアルで割っておく必要がある．これに対応することを，モデル論的に行う． N 上の２項関係 ∼ を

a ∼ b ⟺ {i ∈ I : a_{i} = b_{i}} ∈ U

で定義する．このとき， ∼ は同値関係になる． N を同値関係で割った集合を M^{∗} = ∏_{i∈I} M_{i}/U であらわすことにする． a ∈ N の同値類を [a] であらわすことにすると， M^{∗} = {[a] : a ∈ N}， [a] = [(a_{i})_{i∈I} である．以下しばらく簡単のため言語は関数記号だけからなるとする．（一般の場合は想像がつく？）

Definition 6 （ウルトラプロダクト） M^{∗} = ∏_{i∈I} M_{i}/U は各関数記号 F ∈ L の解釈を次のように定めることで L-構造になる．

F^{M^{∗}}([a^{1}], ..., [a^{n}]) = [F^{N}(a^{1}, ..., a^{n})].

L-構造としての M^{∗} を M_{i} たちの\underline{ウルトラプロダクト}という．

重要なのは次の定理である．

Theorem 7 （ウルトラプロダクトの基本定理） φ(x^{1}, ..., x^{n}) を L-論理式とする．任意の [a^{1}], ..., [a^{m}] ∈ M^{∗} に対して次が成立する：

M^{∗} ⊧ φ([a^{1}], ..., [a^{n}]) ⟺ {i ∈ I : M_{i} ⊧ φ(a_{i}^{1}, ..., a_{i}^{n})} ∈ U.

Proof. 論理式の構成（論理式に含まれる論理記号の個数）に関する帰納法． 0) φ が原子論理式のときは補題から明らか．後は φ の構成に関する帰納法で示せばよい．

1) φ が ¬ψ のとき：

M^{∗} ⊧ ¬ψ([a^{1}], ..., [a^{n}]) ⟺ M^{∗} ⊧ ψ([a^{1}], ..., [a^{n}]) でない
⟺ {i ∈ I : M_{i} ⊧ ψ(a_{i}^{1}, ..., a_{i}^{n})} ∉ U
⟺ {i ∈ I : M_{i} ⊧ ψ(a_{i}^{1}, ..., a_{i}^{n})}^{c} ∈ U
⟺ {i ∈ I : M_{i} ⊧ ψ(a_{i}^{1}, ..., a_{i}^{n}) でない} ∈ U
⟺ {i ∈ I : M_{i} ⊧ ¬ψ(a_{i}^{1}, ..., a_{i}^{n})} ∈ U.

2)φ が ∃yψ(x^{1}, ..., x^{n}, y) のとき：

M^{∗} ⊧ ∃yψ([a^{1}], ..., [a^{n}], y) ⟺ M^{∗} ⊧ ψ([a^{1}], ..., [a^{n}], [b]) for some b ∈ M^{∗}
⟺ {i ∈ I : M_{i} ⊧ ψ(a_{i}^{1}, ..., a_{i}^{n}, b_{i})} ∈ U for some b_{i}’s
⟺ {i ∈ I : M_{i} ⊧ ∃yψ(a_{i}^{1}, ..., a_{i}^{n}, y)} ∈ U

3) その他の論理記号の場合も同様である． Corollary 8 φ を L-閉論理式とする．このとき，

M^{∗} ⊧ φ ⟺ {ı ∈ I : M_{i} ⊧ φ} ∈ U

上の系で主張していることを一言でいうと次のようになる：論理式 φ がウルトラプロダクトで成立するのは，（U の意味で）ほとんどの M_{i} たちが φ を成立させるときである． T が閉論理式の集合のとき， M がすべての T に属する論理式を満たすとき M は\underline{T のモデルである}（M ⊧ T ）という．

Theorem 9 （コンパクト性定理） T を L-閉論理式からなる一つの集合とする．このとき，次は同値である．

1. T はモデルを持つ（∃M s.t. M ⊧ T ）；

2. T の各有限部分はモデルを持つ（∀S ⊂_{fin} T ∃M_{S} s.t. M_{S} ⊧ S）．

Proof. 2 → 1 を示せばよい． T が可算の場合に示す． T = {φ_{i} : i ∈ ℕ} とする．各 n ∈ ℕ に対して， {φ_{i} : i ≤ n} のモデル M_{n} がある． F をフレシェフィルターとして， M_{n} たちのウルトラプロダクト ∏_{n∈ℕ} M_{n} が求める T のモデルである．

Definition 10 L-構造の列 {M_{i} : i < α} が次の条件

M_{i} ≺ M_{j} (i < j < α)

を満たすとき，\underline{基本拡大鎖（elementary chain）}とよぶ．

Theorem 11 （Elementary Chain Theorem） {M_{i} : i < α} が L-構造の基本拡大鎖のとき， M^{∗} = ⋃ M_{i} も自然に L-構造となり，各 i < α に対して， M_{i} ≺ M^{∗} が成立する．

1.2 タイプと飽和モデル

M を L-構造とする． A ⊂ M に対して， A に属する元を定数記号とみなして L に付加した言語を\underline{L(A)} とかく． M は自然に L(A)-構造になる．この記号のもとで， N ≺ M とは，「すべての L(N)-閉論理式 φ に対して， M ⊧ φ ⟺ N ⊧ φ」のことである．

Definition 12 A ⊂ M とする．自由変数 x̄ を持つ L(A)-論理式の集合 Σ(x̄) を考える．

1. Σ(x̄) が M で\underline{有限充足的} ⟺ Σ(x̄) の任意の有限部分集合は M に共通解を持つ． 2. Σ(x̄) が M における\underline{A 上のタイプ}⟺ （１） Σ(x̄) が有限充足的でなおかつ

（２）完全である（任意の φ(x̄) に対して， φ(x̄) ∈ Σ(x̄) or ¬φ(x̄) ∈ Σ(x̄)）．

3. M における A 上のタイプ全体の集合を\underline{S_{M}(A)} とかく． M は省略することが多い．

4. p(x̄) ∈ S(A) のとき， A を\underline{dom(p)} とかく．

p(x̄) が A 上のタイプであるとは，一言で言えば， x̄ に関する（L(A) 論理式で書きうる）完全な情報のことである． p(x̄) が M におけるタイプのとき， p(x̄) が M に解を持つかどうかはわからない．

Exercise 13 1. 有限充足的な L(A)-論理式の集合は A 上のタイプに拡大されることを示せ．（Zorn の補題）

2. A ⊂ N ≺ M とする． p ∈ S_{M}(A) ⟺ p ∈ S_{N}(A) である．

Definition 14 M を L-構造とする． κ を無限基数とする． M が\underline{κ-飽和}であるとは，すべてのタイプ p(x̄) に対して，

|dom(p)| < κ ⇒ p は M に解を持つ

が成立することである．

Lemma 15 p(x̄) を M におけるタイプとする． M^{∗} ≻ M で p の解を持つものが存在する．

Proof. c̄ を L に属さない新しい定数記号の列として，

T = {M で成立する L(M)-閉論理式全体} ∪ p(c̄)

とする． p の M での有限充足性から， T の各有限部分はモデルを持つ．したがって，コンパクト性定理により， T 全体がモデル M^{∗} を持つ． M^{∗} が求めるもの．

この補題を繰り返し使って構造を拡大し，最後に Elementary chain theorem を使うと，次を得る：

Theorem 16 （飽和モデルの存在） M を L-構造， κ を無限基数とする． M^{∗} ≻ M で κ-飽和なものが存在する．

Definition 17 A ⊂ M, ā ∈ M とする． āのM におけるA上のタイプ（\underline{tp(ā/A)}）とは ā が満たす L(A) 論理式全体のことである：

tp(ā/A) = {φ(x̄) : M ⊧ φ(ā)}.

Remark 18 1. tp(ā/A) は確かに A 上のタイプになっている．

2. M が p(x̄) ∈ S(A) の解を持つ ⟺ p(x̄) = tp(ā/A) となる ā ∈ M が存在する．

Theorem 19 M ⊧ T を κ-飽和モデルとして， N ⊧ T を濃度が κ 以下のモデルとする．このとき， N は M の中に基本部分モデルとして埋め込むことができる： ∃N_{0} ≺ M s.t. N_{0} ≅ N.

この定理により， T の十分大きなモデルの中に，ある程度の大きさのモデルはすべて埋め込んで考えることができるようになる．

1.3 安定性とタイプの定義可能性

以下では T を L-閉論理式の完全な集合（理論， theory）とし， M を十分に飽和な T のモデル（十分大きい κ^{∗} に対する κ^{∗}-飽和モデル）とする．何も言わなければ， M, N などは M の基本部分モデルとする．また A,B などは M の部分集合とする．（これらの集合は κ^{∗} に対して十分小さいと仮定する．）

Definition 20 κ を無限基数とする．

1. T が\underline{κ-stable} とは，常に「|A| ≤ κ ⇒ |S(A)| ≤ κ」が成立すること．（タイプの個数があまり多くないことを主張している．ただし，タイプの個数を数えるとき，変数の違いだけのものは同一視している．）

2. T が\underline{stable} とは， κ-stable となる κ が存在すること． κ に対して， T が κstable となること．

Example 21 代数閉体の公理（理論） ACF_{p} は ℵ_{0}-安定である：（証明） M を超越次数無限の代数閉体とする． A ⊂ M を可算集合とする． A 上のタイプの数が可算個しかないことを言えばよい． A の代数閉包を B とする． B は可算である． B に属さない２元 a ∈ M と b ∈ M は互いに同型写像で移りあう．したがって， A 上のタイプが等しい．よって |S(A)| ≤ |B| + 1 = ℵ_{0} を得る．

Example 22 順序が定義されるような理論 T は安定でない：（証明） < を M における順序（を定義する論理式）とする． a_{i} (i ∈ ℚ) を M の元で， M ⊧ a_{i} < a_{j} ⟺ i < j となるように選ぶ．（M の飽和性から可能である．）このとき，各 r ∈ ℝ に対して，切断 Σ_{r}(x) = {a_{i} ≤ x : i ≤ r} ∪ {x < a_{i} : r < i} を考えれば，これは有限充足的．したがって， {a_{i}}_{i} 上のタイプ p_{r}(x) に拡大される． p_{r} たちは全部で連続濃度（非可算個）あるから，これは T が ℵ_{0}-stable でないことを意味する．一般の κ に対する κ-非安定性についても同様である． Example 23 G を ℵ_{0}-stable な群とする． G には論理式で定義される部分群の無限降下列はない．※一般に構造が (κ)-stable とは， T = {φ : M ⊧ φ} が κ)-stable のことである．（証明） G_{i}(i = 0, 1, ...) を論理式で定義される部分群の無限降下列とする． G_{i} は G_{i+1} の coset で少なくとも２個に分割される．したがって，（各有限ステージにおいて考えると） G_{0} は G_{1}, ..., G_{n} たちの coset によって， 2^{n} 個に分割されている．よって， G_{0} は G_{i} たち全体によって，連続濃度 2^{ℵ_{0}} 個に分割されている．違うコセットに属する元は違うタイプを持つので，タイプの数は連続濃度だけある．また，コセットを表現する元は可算個しか必要ないので，このことは G が ℵ_{0}-安定にならないことを示している．矛盾．

Definition 24 （タイプの定義可能性） p(x̄) ∈ S(A) とする．また φ(x̄, ȳ) を L-論理式とする． p(x̄) が\underline{φ(x̄, ȳ) に関して定義可能}であるとは， L(A)-論理式 θ(ȳ) で，

φ(x̄, ā) ∈ p(x̄) ⟺ M ⊧ θ(ā) (∀ā ∈ A)

を満たすものが存在することである． p が任意の φ に関して定義可能のとき， p は定義可能であるという．

Theorem 25 T が安定ならば，すべてのタイプは定義可能である．（実は逆も成立する．）

Proof. 証明は２時間め．

2 ２時間目

2.1 論理式による分割，樹形図

以下では，単に論理式といえば，適当な A に対する L(A)-論理式のこととする．論理式 φ の中に現れる M の元を φ のパラメータとよぶ．

(*) 長さが n の {0, 1}-列とは， n = {0, ..., n − 1} から 2 = {0, 1} への関数のことである．それら全体を^{n}2 とかく．同様に長さが n 未満の {0, 1}-列全体を n>2 とかく

Definition 26 Σ(x̄) を論理式の集合とする． φ(x̄, ȳ) を L-論理式とする．

1. Σ(x̄) が高さ n ≤ ω の 2 分岐\underline{φ-樹形図}を持つとは，適当な \{b̄_{η} :\}_{η∈^{n>}2} を選ぶことにより，論理式の集合

Σ^{∗}({x̄}_{η∈^{n}2}) = ⋃_{η∈^{n}2} Σ(x̄_{η}) ∪ {φ(x̄_{η}, b̄_{η|m})^{η(m)} : m < n}

が解を持つようにできる（有限充足的にできる）ことである．ただし， φ^{0} = ¬φ, φ^{1} = φ である．

2. Σ(x̄) が高さ n の 2 分岐 φ-樹形図を持つとき，\underline{R(Σ, φ, 2) ≥ n} とかく．

Lemma 27 T が安定ならば，高さ ω の２分岐 φ-樹形図は存在しない．

Proof. Σ(x̄) から始まる高さ ω の２分岐 φ-樹形図があったとする．定義における Σ^{∗}({x̄}_{η∈^{n}2}) の解 {ā_{η}}_{η∈^{n}2} をとる．このとき， b̄_{η} たち全体を B とおけば， tp(ā_{η}/B) たちはすべて異なるタイプになる．すなわち可算集合 B 上に連続濃度個のタイプが存在する．これは， T が ℵ_{0}-安定にならないことを示す．（高さ ω の樹形図の存在から，コンパクト性により，任意の高さの樹形図が存在することが分かる．これを用いると，同様の議論で任意の濃度で安定にならないことも証明される．）

したがって， T が安定のときは， R(Σ, φ, 2) ≥ n となる最大の自然数 n が決まる．この n を R(Σ, φ, 2) で表わす．（注意．任意の n に対して， R(Σ, φ, 2) ≥ n ならば，コンパクト性により，高さ ω の樹形図が存在してしまう．）

Remark 28 T が安定のときは，次のような b_{0_{n} 0}, b_{0_{n} 1} (n ∈ ω) も存在しない：

1. tp(b_{0_{n} 0}/b_{0_{1}}, ..., b_{0_{n}}) = tp(b_{0_{n} 1}/b_{0_{1}}, ..., b_{0_{n}}) ；

2. φ(x, b_{0_{n} 0}) と φ(x, b_{0_{n} 1}) は矛盾する（共通解がない）；

3. {φ(x, b_{0_{i}}) : i ∈ ω} は有限充足的．

ただし 0_{i} は 0 を i だけ並べた列．実際，上のような条件から，２分岐 φ(x, y)-樹形図を簡単に作ることができる．

約束の次の定理の証明を行う．

Theorem 29 T が安定ならば，すべてのタイプは定義可能である．

Proof. p(x̄) ∈ S(A) とする． p が φ = φ(x̄, ȳ) に関して，定義可能なことを示す． R(p, φ, 2) = n とする．コンパクト性により， p の中の１つの論理式 ψ(x̄) で R(ψ, φ, 2) = n となるものが存在する．

Claim 1 φ(x̄, ā) ∈ p ⟺ R(ψ(x̄) ∧ φ(x̄, ā), φ, 2) ≥ n．

⇒ は明らかである．逆を示そう． R(ψ(x̄) ∧ φ(x̄, ā), φ, 2) ≥ n とする．もし φ(x̄, ā) ∉ p とすれば， ψ はまず φ(x̄, ā) と ¬φ(x̄, ā) によって，まず１回分解され，次にそれぞれの上に高さが n の樹形図が存在するので，結局 ψ の上に高さが n + 1 の樹形図がかけてしまう．これは， R(ψ, φ, 2) = n に反する．

次は樹形図の定義から明らかである．

Claim 2 R(ψ(x̄) ∧ φ(x̄, ā), φ, 2) ≥ n を ā に関する条件と思うと，これは論理式でかける条件である．

Claim 2 の論理式を θ(ā) とかけば， φ(x̄, ā) ∈ p ⟺ M ⊧ θ(ā) となる．

2.2 安定性と単純性

安定性はある種の樹形図が存在しないことと同値であった．単純性もこのような観点から定義することができる．最初に基本的な定義をする．

Definition 30 論理式の集合 Σ(x̄) が k-矛盾するとは， Σ(x̄) から勝手に k 個の論理式をもってくると，それらが矛盾する（共通解がない）ことである．

Example 31 各 n ∈ ℕ に対して， X_{n} = {A ⊂ ℕ : n ∈ A, |A| = k} とする．このとき，任意に選んだ k 個の X_{n_{1}}, ..., X_{n_{k}} は共通部分を持つ．しかし，任意の k + 1 個の共通部分は空である．

有限列を表わすのに，今後は¯を用いずに，単に a, b, x, y などであらわすことがある．

Definition 32 （単純性）

1. Σ(x) を論理式の集合とする．また φ(x, y) ∈ L, k ∈ ω, n ≤ ω とする． Σ(x) が高さ n の無限分岐 (φ, k)-樹形図を持つとは次の条件を満たす {b̄_{ν}}_{ν∈^{n>}ω} が存在することである．

(a) 各 η ∈ ^{n}ω に対して， p_{η}(x) = Σ(x) ∪ {φ(x, b_{η|(i+1)}) : i < n} は解を持つ；

(b) 各 ν ∈ ^{n>}ω に対して， {φ(x, b_{ν i}) : i ∈ ω} は k-inconsistent である. （これが論理式の集合でかけることに注意する．）

2. Σ(x) が持つ無限分岐 (φ, k)-樹形図の高さに最大値が存在するとき，その最大値を D(Σ(x), φ, k) とかく．

3. D(Σ, φ, k) が常に有限となるとき， T は単純（simple）とよばれる．単純でないとき， tree property を持つという．

Theorem 33 安定ならば単純である．

Proof. ここでの議論は，次の時間に出てくる概念「一様列」と Ramsey の定理を用いる．この概念を知らない方は，証明を読み飛ばしても構わない．

T が単純でないとする．コンパクト性により高さが無限（ω_{1}）の ω 分岐樹形図が存在する．（安定性は，２分岐の樹形図の非存在であったから，このことから非安定性がすぐ出てくるように思うかもしれない．しかし，樹形図の形が少し違うことに注意しなければならない．） Ramsey の定理（３時間目参照）により，

I = {b_{i} : i ∈ ω}

は一様列と仮定できる．また， 0_{n} で 0 を n 個並べた列を表わしたとき， I_{n} = {b_{0_{n} i} : i ∈ ω} は b_{0}, ..., b_{0_{n}} 上の一様列になっていると仮定できる．

{φ(x, b_{i}) : i ≤ n_{0}} ∪ {φ(x, b_{0_{j}}) : j > 1}

が矛盾する最小の n_{0} ≤ k を選ぶ．このとき， {φ(x, b_{0_{j}}) : j > 1} の適当な有限部分集合 F (x) のもとで， ⋀_{n_{0}m≤j<n_{0}(m+1)} φ(x, b_{j}) (m ∈ ω) は 2-矛盾する集合になる． c を F の中のパラメータとして， ψ(x, c, b_{0}, .., b_{n_{0}−1}) = ⋀ F (x) ∧ ⋀_{j≤n_{0}} φ(x, b_{j}) を考える． c′ を tp(c′, b_{n_{0}}, ..., b_{2n_{0}−1}) = tp(c, b_{0}, ..., b_{n_{0}−1}) となるようにとっておく．以上の議論を再び行ない， ψ(x, c, b_{0}, .., b_{n_{0}−1}) をある論理式で２分割する．以下同様に ω_{1} 回繰り返してゆく．２分割する論理式の形は各段階で異なる可能性があるが，論理式の形の個数は可算個しかないので，常に一定の ψ(x, y) の形で分割されているとしてよい．以上により，高さ無限の２分岐樹形図が構成されたことになる (注意 28 を参照)．

3 ３時間目

一般論を先にすすめる前に，単純な理論の例をあげておく．

Example 34 L を２変数述語記号だけからなる言語 {R(∗, ∗)} とする． Random graph の理論 T_{RG} とは次の論理式 φ_{mn}:

∀x_{1}, ..., x_{m}∀y_{1}, ..., y_{n} [{x_{1}, ..., x_{m}} ∩ {y_{1}, ..., y_{n}} = ∅ → ∃z(⋀_{i=1}^{m} R(x_{i}, z) ∧ ⋀_{i=1}^{n} ¬R(x_{i}, z))]

の集合 (m, n ∈ ω) とする． back-and-forth argument により， T_{RG} は完全でなおかつ，限量記号消去を許すことがわかる．したがって，自由変数 x を持つ論理式は x = a, R(x, b) の形たち（およびそれらの否定）を ∧,∨ で結びつけたものである．よって， {φ(x, ā_{i}) : i ∈ ω} が k-矛盾するときは， φ(x, ā_{i}) は本質的に x = a_{i} の形でなければならない．しかし，このとき， φ(x, ā_{i}) は解が一つしかないので，これ以上分解することができない．よって，一変数 ω-分岐樹形図の高さは高々１である（n 変数の場合は高さ n）．よって， T_{RG} は単純である．しかし， I = {a_{i} : i < κ} を異なる元からなる列とするとき，各 A ⊂ κ に対して， p_{A}(x) = {R(x, a) : a ∈ A} ∪ {¬R(x, b)) : b ∉ A} を作れば，これらはすべて異なる I 上のタイプとなるので， |S(I)| ≥ 2^{κ} > κ となる．これは， T_{RG} が κ-安定にならないことを示す．

3.1 Ramsey の定理， Erdös-Rado の定理

組み合わせ論の次の事実は重要である．

Fact 35 m, n ∈ ω, κ:無限基数．

1. ω → (ω)_{n}^{m};

2. ℶ_{n}(κ)^{+} → (κ^{+})_{κ}^{n+1}.

詳しい内容は組み合わせ論の教科書または，このホームページ内にある「単純理論講義」を参照ください．一言で上の説明するならば，「たくさんものがあれば，その中には似たものがたくさんある」ということの一般化である．１の帰結はたとえば次のようになる：

• 人間の可算無限集合を考えるとき，無限の部分集合をとって，その中の任意の二人が全員お友達どおし，または全員お友達でないようにできる．

また，２を κ = ω のときに，使えば次の帰結を得る：

• 人間が連続濃度よりたくさん（ > ℶ(ω) = 2^{ω}）だけいたとき，二人が友達である度合いを自然数 0, 1, 2, ... で判断する．このとき，人間の非可算部分集合が存在して，その中の任意の二人の友達度合いを一定にできる．

これらの事実は一様列の存在を示すために重要となる．

再び M での話に戻る．

Definition 36 I = (a_{i})_{i<α} が A 上の\underline{一様列}（indiscernible sequence）であるとは，同じ有限の長さの部分列が常に一定の A 上のタイプを持つことである．すなわち，各 n ∈ ω に対して，

i_{1} < ⋯ < i_{n} < α, j_{1} < ⋯ < j_{n} < α ⇒ tp(a_{i_{1}}, ..., a_{i_{n}}/A) = tp(a_{j_{1}}, ..., a_{j_{n}}/A)

が成立することである．

Lemma 37 Σ(x_{0}, x_{1}, ...) を自由変数が x_{0}, x_{1}, ... に含まれる L(A)-論理式の集合とする． I = (a_{i})_{i} が Σ の勝手な解のとき，その同じ長さの部分列も Σ の解になると仮定する．このとき， Σ の解として， A 上の一様集合をとることができる．

Proof. x_{0}, x_{1}, ... が A 上の一様列であることは L(A) 論理式の集合 Γ(x_{0}, x_{1}, ...) で表現できる．このとき， Ramsey の定理を使って， Σ(x_{0}, x_{1}, ...) ∪ Γ(x_{0}, x_{1}, ...) が有限充足的になることを示せばよい．（M の飽和性により解がとれる．）

3.2 Forking による独立概念

Definition 38 φ(x, a) divides over A とは次の条件を満たす列 I = (a_{i})_{i∈ω} が存在することである：

• tp(a_{i}/A) = tp(a/A) (i ∈ ω);

• {φ(x, a_{i}) : i ∈ ω} は適当な k ∈ ω に対して， k-矛盾する．

Remark 39 上の定義において， I を a_{0} = a なる A 上の一様列と仮定しても同値になる．（上の定義の２つの条件を I が満たすことは， I が A 上の論理式の適当な集合 Σ(x_{0}, x_{1}, ...) を満たすことと同値になる．このことを頭において補題 37 を使えばよい．） Example 40 複素数体 ℂ において考える． f(x, a_{0}, ..., a_{n})) = ∑_{i=0}^{n} a_{n}x^{n} を n(> 0) 次の既約多項式とする．ただし， a_{i} たちのうち少なくとも一つは\overline{ℚ} 上の超越元とする．このとき， f(x, a_{0}, ..., a_{n}) = 0 は\overline{ℚ} 上 divide する：実際 tp(b_{0}, ..., b_{n}/\overline{ℚ}) = tp(a_{0}, ..., a_{n}/\overline{ℚ}) なる b_{0}, ..., b_{n} を超越次元 tr.deg(a_{0}, .., a_{n}, b_{0}, ..., b_{n}) が最大になるようにとれば， f(x, a_{0}, ..., a_{n}) = 0 ∧ f(x, b_{0}, ..., b_{n}) = 0 は解を持たない．

簡単にいうと dividing が従属性に対応する．しかし， dividing そのものは，技術的に扱いにくい．そこで forking の概念が必要になる．

Definition 41 論理式 φ(x, a) が有限個の A 上 divide する論理式によって覆われるとき， φ(x, a) forks over A という．（φ が ψ_{i} たちで覆われるとは， M ⊧ ∀x[φ(x, a) → ⋁_{i≤m} ψ_{i}(x, b_{i})] となる意味である．）

Exercise 42 X を無限集合として，構造 (X ∪ P(X); X, P(X), ∈) を考える．すなわち，集合 X ∪ P(X) 上に X 部分と P(X) 部分を指し示す述語記号があり，さらに X の元と P(X) の元の間の所属関係 ∈ が言語に入っている．このとき，論理式 X(x) は ∅ 上 divide しないが， ∅ 上 fork することを示せ．

上の例が示すように一般には divide と fork は異なる概念である．しかし，単純な理論においては，二つは一致する．これを示すのに特別な一様列である Morley 列の存在が重要になる．そして Morley 列の存在を示すために Erdös-Rado の定理が必要となる．

Definition 43 1. 論理式の集合 Σ(x) が A 上 divide (fork) するとは， Σ(x) の中の有限個の論理式の conjunction が divide (fork) することである．

2. a と A が B 上独立である（記号 a ^{|} ⌣_{B} A） ⟺ tp(a/A ∪ B) が B 上 fork しない．

3. A_{1} と A_{2} が B 上独立である（記号 A_{1} ^{|} ⌣_{B} A_{2}） ⟺ A_{1} の各有限部分 a に対して， a ^{|} ⌣_{B} A_{2}.

安定の場合に forking による独立概念が存在することは Shelah によって示された．同様の独立概念が単純の場合にも存在することは Kim-Pillay によって示された：

Theorem 44 T を単純とする．このとき，３項関係 ∗ ^{|} ⌣_{∗} ∗ は独立概念とよぶにふさわしい次の性質を持つ：

1. （不変性） tp(A, B, C) = tp(A′, B′, C′) ならば A ^{|} ⌣_{B} C ⟺ A′ ^{|} ⌣_{B′} C′;

2. （存在） A, B, C が与えられたとき， tp(A′/B) = tp(A/B) かつ A′ ^{|} ⌣_{B} C なる A′ が存在する．（A を C と B 上独立な位置に動かすことができる．） 3. （有限性） A の任意の有限部分 a および C の任意の有限部分 c に対して，

a ^{|} ⌣_{B} c ならば A ^{|} ⌣_{B} C である．

4. （局所性） a， B に対して， B_{0} ⊂ B で |B_{0}| ≤ |T |, a ^{|} ⌣_{B_{0}} B となるものが存在する．

5. （対称性） A ^{|} ⌣_{B} C ⇒ C ^{|} ⌣_{B} A;

6. （推移性） B_{1} ⊂ B_{2} ⊂ B_{3} のとき， A ^{|} ⌣_{B_{1}} B_{3} ⟺ 「A ^{|} ⌣_{B_{1}} B_{2} かつ A ^{|} ⌣_{B_{2}} B_{3}」

7. （Independence Theorem） M ≺ M とする． p(x) ∈ S(M) の二つの拡大 q_{i}(x) ∈ S(M ∪ {B_{i}}) （i = 1, 2）に対して，条件：

(a) 各 q_{i}(x) は M 上 fork しない；

(b) B_{1} ^{|} ⌣_{M} B_{2}，

が成立すれば， q_{1}(x) ∪ q_{2}(x) は M 上 fork しない．

性質１−４は比較的容易に示すことができる．特に不変性と有限性は定義から自明である．（推移性も ⇒ は明らかである．）

存在： A は有限列 a と仮定する． p(x) = tp(a/B) とするとき， p(x) の拡大 q(x) ∈ S(C) で A 上 fork しないものの存在を示せばよい．（q(x) の解 a′ が求めるものになる．）このためには， L(C)-論理式 φ(x) で B 上 fork するものをすべて p(x) に不可して Σ(x) をつける． Σ(x) が矛盾しない（有限充足的）ことは， fork する論理式の有限 disjunction が再び fork することを考えれば，明らかである． Σ(x) の S(C)-タイプへの任意の拡大を q(x) とすればよい．

残りを示すためには，まず対称性を示す必要がある．そのためには，新しい概念が必要となる．

Definition 45 p(x) ∈ S(A)， A_{0} ⊂ A とする． I = {a_{i} : i < α} を p の解の列とする． I が p の A_{0} 上の\underline{Morley 列}であるとは，次の条件を満たすことである：

1. I は A 上の一様列である．

2. tp(a_{i}/A ∪ {a_{j} : j < i}) は A_{0} 上 fork しない．

A_{0} = A のときは，単に p の Morley 列という．

一様列には大きく分けると２種類ある．一つ目は自明な一様列．すなわち， I = (a_{i})_{i} において，すべての a_{i} が一定の元 a の場合である．もう一つは， I の元がお互いに無関係になっているために一様になっている場合で，代数閉体における超越基底がそれに相当する．このような後者の形の一様列を正確に定義したものが， Morley 列である．

Fact 46 p(x) ∈ S(A) が A_{0} ⊂ A 上 fork しないとき， p の A_{0} 上の（勝手な長さの） Morly 列が存在する．

この証明のための基本的（で雑な）アイディアは次のとおりである．最初に存在（定理の性質２）を使って，十分長い I = (a_{i})_{i<κ} を Morley 列の定義の独立条件２を満たすように作る． I の各元は A 上一定の１変数タイプ（p）を満たしている．しかし， a_{i}, a_{j} ∈ I のとき，２変数タイプ tp(a_{i}, a_{j}/A) は一定とは限らない．そこで， Erdös-Rado の定理を使い，部分列 I′ で２変数タイプが一定となるものを選ぶ．この部分列 I′ から，さらに部分列 I′′ を選べば， 3 変数タイプも一定にできる．これを ω 回続ければ，部分列で一様列になるものがとれる（そして独立条件２も保存される）と期待したい．しかし残念ながら，各ステップで部分列の長さは確実に短くなっている．したがって，この雑な方法では基数の無限降下列がない限り（そんなものはない）だめである．そこで，もう一つのアイディアが必要になる．（これに関してはここで詳しく述べることはしない．講演では多少述べた．単純理論講義を参照のこと．）

Lemma 47 T を単純とする．次の４条件は同値である．

1. φ(x, a) は A 上 fork する．

2. φ(x, a) は A 上 divide する．

3. I を tp(a/A) の適当な Morley 列とするとき， {φ(x, b) : b ∈ I} は矛盾する．

4. I を tp(a/A) の勝手な Morley 列とするとき， {φ(x, b) : b ∈ I} は矛盾する．

Proof. 4 ⇒ 3 ⇒ 2 ⇒ 1 は明らかである． 2 ⇒ 4 ： φ(x, a) が divide するが， Morley 列 I = (a_{i})_{i∈ω} に対して，

Σ(x) = {φ(x, a_{i}) : i ∈ ω}

が有限充足的とする．（a_{0} = a としてよい．） φ(x, a) が divide するので， A 上の適当な一様列 J ∋ a によって， {φ(x, b) : b ∈ J} は k-矛盾する． Ramsey の定理を用いた簡単な議論により， J は I \ {a} 上の一様列と仮定できる．このことは， D(Σ(x), φ(x, y), k) < D(Σ_{1}(x), φ(x, y), k) を示す．ただし， Σ_{1}(x) = {φ(x, a_{i}) : i ∈ ω, i ≥ 0} しかし， tp(a_{0}, a_{1}, .../A) = tp(a_{1}, a_{2}, .../A) だから， Σ と Σ_{1} は同じランクを持たなければならない．これは矛盾である．

2 と 4 の同値性をつかうと，１と２の同値性もでる．

（対称性の証明） a ^{|} ⌣_{B} c とする． Morley 列の存在により， I ∋ a をタイプ tp(a/B∪ {c}) の B 上の Morley 列としてとることができる． I は同時に tp(a/B) の Morley 列になっている（推移性 ⇒ を使った）．また， p_{a} = tp(c/A ∪ {a}) とするとき，

p_{a_{0}} ∪ p_{a_{1}} ∪ p_{a_{2}} ∪ ⋯

が有限充足的（c で満たされる）になる．よって，補題 47 により， p_{a}(x) が B 上 fork しないことになる．すなわち， c ^{|} ⌣_{B} a．

（推移性の証明）は省略．

3.3 Amalgamation theorem

ここでは，モデル M (≺ M) 上のタイプの性質を述べる．安定な理論においては，モデル M 上のタイプは勝手な A ⊃ M 上にただ一つの「正当な後継者」となる拡大（nonforking extension）を持つ．

Definition 48 1. A ⊂ B, p(x) ∈ S(A)， p ⊂ q ∈ S(B) とする． q が p の nonforking extension ⟺ q が A 上 fork しない．

2. p ∈ S(A) が stationary ⟺ p は勝手な B ⊃ A 上にただ一つの nonforking extension を持つ．

Theorem 49 T を安定とする．モデル上のタイプは stationary である．

単純な理論では，これは成立しない．対応する性質は次のものである．

Theorem 50 （Independence Theorem, 再掲） T を単純とする． M ≺ M とする． p(x) ∈ S(M) の二つの拡大 q_{i}(x) ∈ S(M ∪ {B_{i}}) （i = 1, 2）に対して，条件：

1. 各 q_{i}(x) は M 上 fork しない；

2. B_{1} ^{|} ⌣_{M} B_{2}，

が成立すれば， q_{1}(x) ∪ q_{2}(x) は M 上 fork しない．

証明はここで述べることはできない．