単純理論講義（東北大学）

坪井明人

10/4-10/8,1999

概要

S.Shelah は安定理論のモデルでは非分岐拡大によって「独立の概念」を定義することができることを示した． B.Kim は単純理論に対してもある意味で非分岐拡大による「独立の概念」が存在することを学位論文の中で示した．本講義は彼の理論をできるだけ簡潔に（なおかつ基礎知識をあまり仮定せずに）展開することを目的とする．

記号について：

1. α,β,i,j は順序数をあらわす． m,n などは主に自然数をあらわす． ω は自然数全体（最小の無限順序数）をあらわす．

2. κ,λ は無限基数をあらわす．

3. x,y は有限の長さの変数列をあらわす．

4. L は言語， M は（L-）構造をあらわす．

5. φ,ψ などは論理式をあらわす．論理式 φ の自由変数が x に含まれるとき φ(x) とかく． φ = φ(x) の x を y で置き換えた論理式を φ(y) とかく．（束縛変数は「がっちゃんこ」しないように適当にかえておく．）論理式の集合は Σ,Γ などであらわす．

6. A ⊂ M のとき， L(A) は L に a ∈ A に対応する新しい定数記号 c_{a} をすべて付け加えた言語．通常は c_{a} を単に a とかく． M は自然に L(A)-構造になる． L(A)-論理式全体も（誤解がない限り） L(A) であらわす．したがって「φ ∈ L(A)」とは多くの場合 φ は L(A)-論理式であることを意味する．

7. L(A)-論理式 φ において L 以外の新しい定数記号たちを φ のパラメータとよぶ．

8. T が L の sentence の集合のとき， T が consistent とは T のすべての sentence が成立する L-構造 M が存在することである． M を T のモデルとよぶ．

1 飽和モデルの存在

Fact 1 (Elementary Chain Theorem) M_{i} (i < α) を L-構造として，

M_{0} ≺ M_{1} ≺ ⋯ ≺ M_{i} ≺ M_{i+1} ≺ · · · .

が成立しているとする（elementary extension の列）．このとき，集合 M^{∗} = ⋃_{i<α} M_{i} は自然に L-構造になり，さらに M_{i} ≺ M^{∗}(i < α) が成立する．

Definition 2 (Type) M を L-構造とし， A ⊂ M とする．

1. x を自由変数列として持つ L(A)-論理式のある集合 Σ(x) を考える． Σ(x) が M におけるタイプ ⟺ Σ(x) が有限充足的（Σ(x) の有限集合は共通解を M に持つ）．

2. 上のとき， A ⊂ M を Σ(x) の domain とよぶ．また Σ(x) を（A 上の）タイプという．

3. A 上のタイプのうち完全なもの全体を S(M) とかく．

4. a ∈ M のとき tp(a/A) は a によって満たされる L(A)-論理式の全体とする： tp(a/A) = {φ(x) ∈ L(A) : M ⊧ φ(a)}.A = ∅ のときは単に tp(a) とかく．（注意： M の元の無限列 a = (a_{i})_{i} に対しても自然に tp(a/A) を定義することができる．）

5. M が κ-saturated ⟺ domain が κ 未満の M におけるタイプ Σ(x) は必ず M に解を持つ（Σ(x) のすべての論理式を同時に満たす列 a が M の中に存在する）．

Fact 3 Σ(x) を M のタイプとする． M の elementary extensionN ≻ M で Σ(x) の解が存在する (realize する) ものがある．

M を L-構造とする．上の fact 2 により M を拡大すれば特定のタイプを realize することができる．このことを，どんどん繰り返すと fact 1 を使って， domain が κ 未満のすべてのタイプを realize する M の elementary extension を作ることができる．

Fact 4 (κ-saturated model の存在) M を L-構造とする．任意の κ に対して， κsaturated な M の拡大 N ≻ M が存在する．

Fact 5 M を κ-saturated な L-構造とする．また A ⊂ M は濃度が κ 未満とする． Γ = Γ({x_{i}}_{i<κ}) を自由変数が {x_{i}}_{i<κ} に含まれる L(A)-論理式の一つの集合とする．このとき， Γ が有限充足的ならば， Γ の解となる {a_{i}}_{i<κ} が M の中からとれる．

Proof. κ = ω の場合を扱う（他も同様）． Γ は ∧ で閉じていると仮定してよい． Γ_{0}(x_{0}) を Γ の中の論理式の x_{0} 以外の自由変数を存在記号で縛ったものとする．正確には

Γ_{0}(x_{0}) = {∃x_{1}, ..., x_{n}φ(x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}) : n ∈ ω, φ(x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}) ∈ Γ}

とする．このとき， Γ_{0}(x_{0}) は M で有限充足的になるので， M の ω-saturation から，解 a_{0} ∈ M を持つ．次に， Γ(a_{0}, x_{1}, ...) （有限充足的）の x_{1} 以外の自由変数を存在記号で縛って同様のことを行うと Γ(a_{0}, a_{1}, x_{2}, ...) が有限充足的になる a_{1} ∈ M が存在する．以下同様に行えば， Γ の解となる a_{0}, a_{1}, a_{2}, ... ∈ M がとれる． Definition 6 1. M 上の partial function f が（M の） elementary mapping

であるとは， f が論理式を保存することである．すなわち任意の φ(x) ∈ L に対して M ⊧ φ(a) ⟺ M ⊧ φ(f(a)) が成立することとする．（L(A)-論理式を保存する mapping は A 上の elementary mapping とよぶ．）

2. M が κ-homogeneous であるとは， |f| < κ なる M の任意の elementary mapping f と任意の a ∈ M に対して， f の拡大となる elementary mapping g で定義域に a を含むものが存在すること．

3. M が κ-universal であるとは， |N| ≤ κ なる任意の N ≡ M は M の中に elementary に埋め込めることである．すなわち， N_{0} ≺ M かつ N_{0} ≅ N となるモデル N_{0} が存在することである．

Fact 7 M が κ-saturated ならば， κ-homogeneous かつ κ-universal である．

Proof. （κ-homogeneity について） f を |f| < κ なる M の elementary mapping とする． f は適当な α < κ によって， {(a_{i}, b_{i}) : i < α} とかける． p((x_{i})_{i<α}, y) = tp((a_{i})_{i<α}, a) とする． f が論理式を保存することから， p((b_{i})_{i}, y) は M でのタイプ（有限充足的）となる．したがって， saturation から，解 b ∈ M を持つ．このとき， g = f ∪ {< a, b >} とすれば，求める elementary mapping になる．

κ-universal になることは演習問題．

\underline{まとめ}： κ-saturated， κ-universal かつ κ-homogeneous なモデルが存在することがわかった．

以下では T を L の完全な理論（consistent でなおかつ勝手な L-sentenceφ に対して φ ∈ T or ¬φ ∈ T ）とする．十分大きな κ に対する κ-saturated モデル M を一つとって固定する． κ は通常考える集合のどれよりも大きな基数としておく．以下ですべては， M の中で展開する．すなわち， a, b などは M の有限列をあらわし， A, B などは M の濃度の小さい部分集合（濃度が κ 未満の集合）をあらわすとする． M の κ-saturation により，論理式の集合 Σ(x) が有限充足的なことと充足的（すなわち解を持つ）ことは同値になる．また， T のモデルと単に言えば，それは M の elementary submodel のこととする．

2 一様列（indiscernible sequence）

Definition 8 (一様列)

1. I = (a_{i})_{i<α} が一様列であるとは，長さの等しい二つの上昇列 i_{1} < i_{2} < · < i_{n} < α と j_{1} < j_{2} < · < j_{n} < α に対して，

tp(a_{i_{1}}, ..., a_{i_{n}}) = tp(a_{i_{1}}, ..., a_{i_{n}})

が常に成立することとする． α を I の長さという．上においてタイプを A 上で考えることにより A 上の一様列という概念も自然に定義される． 2. p(x) ∈ S(A) とする． I = (a_{i})_{i<α} が p の一様列であるとは，次の 2 条件が成

立することである： • I は p の解の集合である. （各 a_{i} は p の解である）；

• I は A 上の一様列である．

Example 9 1. a_{i} = a(一定) とするとき， I = (a_{i})_{i} は一様列になる．これを

自明な一様列とよぶ．

2. p(x) ∈ S(A) が（M で）有限個の解しか持たないとき，代数的なタイプとよぶ．代数的なタイプ p(x) の無限一様列は自明なものしかない： I = (a_{i})_{i} を無限一様列とする．すべては p の解だから， a_{i} = a_{j} となる i ≠ j が存在する．このとき，一様性から，すべての i, j に対して， a_{i} = a_{j} となる．

3. T = ACF_{p} とすれば，超越規定 I は一様列になる．（これは quantifier elimination により明らか．）

Fact 10 (Ramsey の定理) 集合 X に対して， [X]^{n} で X の n 点部分集合全体をあらわす．任意の f : [ω]^{n} → {0, 1} に対して，無限集合 X ⊂ ω を選んで， f|[X]^{n} = 一定とできる．

Proof. n = 2 の場合に示す（一般の場合は induction）． f({i, j}) = 1 のとき， i と j はお友達，そうでないとき赤の他人とよぶ． 0 ∈ ω に注目する． 0 をあらためて m_{0} とよぶことにする． m_{0} のお友達が無限人いるかそうでないかで場合わけする．お友達がたくさんいるとき，その友達の集合を F_{0} として m_{0} を「顔のひろいやつ」とよぶ．そうでないとき，赤の他人の集合を F_{0} として， m_{0} を「顔のせまいやつ」とよぶ．次に F_{0} の中の最小元を m_{1} として，\underline{F_{0} の中に}友達がたくさんいるか否かで場合わけをして， F_{1} ⊂ F_{0} をさだめ，同時に「顔が広い」か否かも決める．以下同様に a_{m} たちと F_{m} たちを決めてゆく．

{a_{m} : m ∈ ω} の中で顔の広い人が無限人いるときそれらを X とすれば， X の中の勝手な２人 i, j は友達になる．すなわち， f({i, j}) = 1. 顔が狭いひとがたくさんいるときは，顔が狭い人たちを X とすればよい．

Lemma 11 自由変数が (x_{i})_{i<α} に含まれる有限充足的な集合 Γ((x_{i})_{i<α}) を考える． Γ((x_{i})_{i<α}) が subsequence property を持つとは， I = (a_{i})_{i<α} が Γ の解ならば，その勝手な部分列 J = (b_{i})_{i<α} も Γ の解になることとする．このとき， subsequence property を持つ Γ の解としては（勝手な A に対する） A 上の一様列をとることができる．

Proof. A を勝手に一つ固定する． α = ω と仮定できる． Γ^{∗}((x_{i})_{i<ω}) を Γ((x_{i})_{i<ω}) に次の条件を付加した集合とする．

\{φ(x_{i_{1}}, ..., x_{i_{n}}) ↔ φ(x_{j_{1}}, ..., x_{j_{n}}) : \begin{matrix}φ(y_{1}, ..., y_{n}) ∈ L(A), \\ i_{1} < ⋯ < i_{n} < ω, \\ j_{1} < ⋯ < j_{n} < ω \end{matrix} \}

Γ^{∗} の解は Γ の解でなおかつ一様列になる．したがって， Γ^{∗} が有限充足的になることを示せばよい． Γ^{∗} の有限部分集合を勝手に選ぶ．この有限集合は次の形の集合 Γ_{0} に含まれるとしてよい．

Γ ∪ {φ_{j}(x_{i_{1}}, ..., x_{i_{n}}) ↔ φ_{j}(x_{j_{1}}, ..., x_{j_{n}}) : j = 1, ..., m}.

Γ_{0} を満たす解が存在することを示せばよい．簡単のために m = 1 とする．いま Γ の解 I = (a_{i})_{i} を一つ固定しておく． f : [ω]_{n} → {0, 1} を

f(\{i_{1} < ⋯ < ı_{n}\}) = \{ \begin{matrix}1 & if φ_{1}(a_{i_{1}}, ..., a_{i_{n}}) holds, \\ 0 & otherwise \end{matrix}

と定める． Ramsey の定理により， (例えば)f|[X]^{n} = 1 (constant) となる無限集合が存在する． Γ が subsequence property を持つことに注意すれば， I の部分列 J = (a_{i})_{i∈X} が Γ_{0} を満たすことがわかる．

Proposition 12 p(x) ∈ S(A) を代数的でないタイプとする（すなわち解が無限にあるタイプ）． p の自明でない一様列が存在する．（長さは勝手に指定できる．）

Proof. 自由変数の列 (x_{i})_{i<α} を用意して， Γ((x_{i})_{i<α} を

⋃_{i<α} p(x_{i}) ∪ {x_{i} ≠ x_{j} : i ≠ j}

とする． Γ は有限充足的でなおかつ subsequence property を持つ．したがってその解として A 上の一様列をとれる．

Definition 13 (代数的)

1. φ(x) ∈ L(A) が代数的 (algebraic) ⟺ φ(x) の解が有限個しかない．

2. p(x) ∈ S(A) が代数的 ⟺ p(x) の解が有限個しかない．

3. acl(A) = {b ∈ M : tp(b/A) が代数的}

Remark 14 p(x) が代数的ならば，その中の論理式ですでに代数的になっているものが存在する．これは， M の saturation による．

acl は closure operator の性質を持つ：（１） acl(A) ⊃ A, （２） acl(acl(A)) = acl(A), （３） a ∈ acl(A) ならば有限の A_{0} ⊂ A で a ∈ acl(A_{0}) となるものがある．いずれも易しい．

Proposition 15 I が無限の A 上の一様列ならば acl(A) 上でも一様列になる．

Proof. θ(x) ∈ L(A) を代数的な論理式として，その解全体の集合を D とする． I = (a_{i})_{i} が A ∪ D 上の一様列になることを示せばよい．勝手な φ(x, y) ∈ L(A) を一つ固定する． D の部分集合

D_{i} = {d ∈ D : M ⊧ φ(a_{i}, d)}

を考える． D が有限なことから， i ≠ j < ω で D_{i} = D_{j} となるものが存在する．すなわち， L(A)-論理式

∀y[θ(y) → (φ(a_{i}, y) ↔ φ(a_{j}, y))]

が成立する．一様性から, 実は勝手な i, j に対して上が成立する．このことは I の各元が A ∪ D 上同じタイプを持つことを示す．同様の議論または帰納法により， I の長さの等しい有限列は A ∪ D 上すべて同じタイプを持つことがわかる．

3 理論の単純性

引き続き T は完全な理論であり， M は T の κ-saturated モデルである（κ は十分大）．

記号と言葉づかいについて：

1. X を集合としたとき，^{ω}X は X の元の可算無限列全体，^{ω>}X は X の元の有限列の全体をあらわす．同様に^{n}X は長さ n の X の元の列全体，^{n>}X は長さ n 未満の X の元の列全体をあらわす． η， ν などはこれらの集合に属する列をあらわす．

2. 列 η ν は列 η の後に列 ν をおいてできる列とする．

3. 列 η の n 番めは η(n) であらわす． η の定義域を n 未満に制限してできる列を η|n とかく．すなわち， η|n = (η(0), ..., η(n − 1)) である．

4. 論理式の集合 Σ(x) が inconsistent とは， Σ(x) に解が存在しないことである． k ∈ ω に対して， Σ(x) が k-inconsistent とは， Σ(x) から勝手に k 個の論理式をもってきたとき，それらが inconsistent になることである．

5. 以下で一様集合といえば無限の一様集合のこととする．

Definition 16 （単純性）

1. Σ(x) を論理式の集合とする．また φ(x, y) ∈ L, k ∈ ω, n ∈ ω + 1 とする． Σ(x) が高さ n の (φ, k)-tree を持つとは次の条件の集合が（x_{η},y_{ν} たちに関して）充足的になることである．

(a) 各 x_{η} ∈ ^{n}ω は Σ(x) ∪ {φ(x, , y_{η|(i+1)}) : i < n} の解；

(b) 各 ν ∈ ^{n>}ω に対して， {φ(x, y_{ν i}) : i ∈ ω} は k-inconsistent である. （これが論理式の集合でかけることに注意する．）

2. Σ(x) が持つ (φ, k)-tree の高さの最大値を D(Σ(x), φ, k) とかく．

3. D(σ, φ, k) が常に有限となるとき， T は単純（simple）とよばれる．単純でないとき， tree property を持つという．

Example 17 L = {∗ < ∗} として， T を稠密全順序の公理（(Q, <) の理論）とする． T は tree property を持つ：

Q の閉区間 I は無限個の互いに共通部分を持たない無限個の閉区間 I_{i}(i ∈ ω) を含む．各 I_{i} は再び無限個の I_{i,j} （j ∈ ω）に分かれる．これを繰り返せば I_{ν}(ν ∈ ω>ω) を • I_{ν} ⊂ I_{ν′} if ν は ν′ を拡大した有限列；

• 各 ν に対して， I_{ν i} (i ∈ ω) は互いに共通部分を持たない

ようにとることができる． φ(x, y_{1}, y_{2}) を論理式 y_{1} < x < y_{2} とする．また， b_{ν} = (b_{1}, b_{2}) を I_{ν} の両端の有理数とする．また a_{η} ∈ R を ⋃_{n∈ω} I_{η|n} の中の元とする．このとき，集合 {x = x} が高さ ω の (φ, 2)-tree を持つことは，定義にあらわれる集合 (a)(b) で x_{η} の解として， a_{η},y_{ν} の解として， b_{ν} がとれることからわかる．

Example 18 一般に安定な理論はすべて単純である．したがって，アーベル群の理論，代数閉体の理論などはすべて単純である．

Example 19 Random graph の理論は単純である．しかし，安定でない．

Remark 20 単純な理論に対して， D(Σ, φ, k) は次のような帰納的な定義と同等になる：

1. Σ(x) が充足的ならば D(Σ, φ, k) ≥ 0.

2. D(Σ, φ, k) ≥ n + 1 ⟺ 次のような b_{i}(i ∈ ω) が存在する： • D(Σ ∪ {φ(x, b_{i})}, φ, k) ≥ n かつ

• {φ(x, b_{i}) : i ∈ ω} は k-inconsistent.

3. D(Σ, φ, k) = n ⟺ D(Σ, φ, k) ≥ n かつ D(Σ, φ, k) ≱ n + 1

Definition 21 (dividing and forking) a ∈ M， A ⊂ M とする．

1. 論理式 φ(x, a) が A 上 divide するとは，次のような tp(a/A) の一様集合 I =

(a_{i})_{i<ω} が存在することである：

• {φ(x, a_{i}) : i < ω} が k-inconsistent. 注意： a_{0} = a と仮定しても一般性を失わない（homogeneity）．

2. φ(x, a) が A 上 fork するとは， φ(x, a) が有限個の divide する論理式で cover されることである．すなわち，次のような ψ_{1}(x, b),...,ψ_{n}(x, b) が存在することである：

• φ(x, a) → ⋁_{i=1,..,n} ψ_{i}(x, b);

• 各 ψ(x, b) は A 上 divide する．

Remark 22 定義から明らかなように「dividing」は「forking」よりも強い条件である．

Example 23 X を無限集合として， {P (∗), Q(∗), ∗ ∈ ∗}-構造を集合 M = X ∪ P(X) の上に次のように与える：

P^{M} = X; Q^{M} = P(X);
∈^{M}= {(a, b) ∈ X × P(X) : a ∈ b(素朴な意味で)}.

b ∈ Q^{M} を内側も外側も無限の集合とする．このとき， b を自己同型で動かして， b_{i}(i ∈ ω) を互いに共通部分のないようにとれる．これらは一様列になる．したがって，論理式 x ∈ b は ∅ 上 divide する．どうようのことは x ∈ b^{c} に対しても成立する．ただし， b^{c} は b の補集合をあらわす点である．

P (x) → [(x ∈ b) ∨ (x ∈ b^{c})]

が成立することに注意しよう．したがって，パラメータを持たない論理式 P (x) が ∅ 上 fork している．実はこのようなことは T が単純の場合には起こらない．すなわち，単純な理論では二つの概念「divide」「fork」が一致する．

Remark 24 次の条件は同値である． 1. φ(x, a) が A 上 divide する;

2. 次のような I = (a_{i})_{i<ω} が存在する： • tp(a_{i}/A) = tp(a/A) (i ∈ ω);

• {φ(x, a_{i}) : i ∈ ω} が適当な（k ∈ ω に対して） k-inconsistent. （1 → 2）は明らか，（2 → 1）は補題 11 による．

Definition 25 （タイプに対する dividing と forking）論理式の集合 Σ(x) が A 上 divide （あるいはfork）するとは， Σ(x)の中から有限個の論理式φ_{1}(x, a_{1}),...,φ_{n}(x, a_{n}) を選んで ⋀_{i=1,..,n} φ_{i}(x, a_{i}) が A 上 divide(あるいは fork）するようにできること．（注意：上において， Σ(x) が完全なタイプのときは，選ぶ論理式は一つでよい．）

タイプに対する forking の定義から， p(x) ∈ S(A) が A_{0} 上 fork するならば，有限集合 F ⊂ A によって， p|(A_{0} ∪ F) が A_{0} 上 fork していることになる．

Proposition 26 （Forking と D-rank の基本性質）

1. φ(x) → ψ(x) が成立するとき， ψ(x) divedes (forks) over A ならば φ(x) divedes (forks) over A.

2. Δ(x) → Σ(x) が成立するならば， D(Σ, φ, k) ≥ D(Δ, φ, k) （∀φ, k）

3. D(Σ ∪ {⋁_{i=1}^{m} ψ_{i}}, φ, k) = max{D(Σ ∪ {ψ_{i}}, φ, k) : i = 1, ..., m}.

4. (T:simple) Σ(x) divides over A ⇒ D(Σ, φ, k) < D(Σ|A, φ, k) （∃φ, k）

5. (T:simple) Σ(x) forks over A ⇒ D(Σ, φ, k) < D(Σ|A, φ, k) （∃φ, k）

Proof. 1,2 は易しい． 3: 「D(Σ ∪ {⋁ ψ_{i}}, φ, k) ≥ n ⇒ max{D(Σ ∪ {ψ_{i}}, φ, k) : i} ≥ n」を n に関する帰納法で示す． D(Σ∪{⋁ ψ_{i}}, φ, k) ≥ n+1 とする． φ(x, a_{j}) (j ∈ ω) をとって

• D(Σ ∪ {⋁ ψ_{i}} ∪ {φ(x, a_{j})}, φ, k) ≥ n (∀j);

• {φ(x, a_{j}) : j ∈ ω} は k-inconsistent

とできる．帰納法の仮定から，各 j に対して， m_{j} ≤ m をとって， D(Σ∪{ψ_{m_{j}}}∪ {φ(x, a_{j}) φ, k) ≥ n とできる． m_{j} の可能性は有限だから， (a_{j})_{j} の部分列と m′ ≤ m をとることにより，

D(Σ ∪ {ψ_{m′}} ∪ {φ(x, a_{j}) φ, k) ≥ n (∀j)

としてよい．このことは， D(Σ ∪ {ψ_{i}}, φ, k) : i} ≥ n を示す．

4:Σ(x) divides over A とする． Σ(x) は ∧ で閉じているとしてよい． φ(x, a) ∈ Σ(x) を divide の原因となる formula とする．このとき，適当な k に対して， D(Σ, φ, k) < D(σ|A, φ, k) となる．

5:2,3,4 による．

Proposition 27 T は単純とする． p(x) ∈ S(A) に対して次の条件を満足する A_{0} ⊂ A が存在する：

1. |A_{0}| ≤ |T |;

2. p(x) は A_{0} 上 fork しない．

Proof. p に対して，上のような A の部分集合が存在しないとする．このとき， A の部分集合の上昇列 (A_{i})_{i<|T |^{+}} で各 i < |T |^{+} に対して，

• |A_{i}| ≤ |T |;

• p|A_{i+1} forks over A_{i}

となるものが存在する．命題 26 によれば，各 i において p|A_{i} と p|A_{i+1} を比べると，何らかの (φ, k) に対する D-rank が下がっていることがわかる．しかし， (φ, k) の可能性は |T | 個しかないので，すべて同じ (φ, k) と仮定できる．このことは，順序数の無限下降列が存在することを意味するので，矛盾である．

Proposition 28 （Nonforking Extension の存在） Σ(x) は L(B)-論理式の集合で A ⊂ B 上 fork しないと仮定する．このとき， p(x) ∈ S(B) で次を満たすものがある：

• p(x) ⊃ Σ(x);

• p(x) は A 上 fork しない．

Proof. Σ(x) に A 上 fork する論理式 φ(x) ∈ L(B) の否定をすべて付け加えて集合 Σ^{∗}(x) を作る． Σ^{∗}(x) は有限充足的になり，その解を a ∈ M をとる． tp(a/B) が求める完全なタイプとなる．

4 Morley 列の存在

以下では T は単純な完全理論とする．「divide」という概念は分かりやすく， [fork」はより複雑になっているが「φ_{0}(x),φ_{1}(x) がともに fork⇒ φ_{0}(x) ∨ φ_{1}(x) も fork」という都合のいい性質を持っている．これら二つの概念が一致することを示すためには Morley 列の存在定理が基本的である． Definition 29 A_{0} ⊂ A とし， p(x) ∈ S(A) とする．このとき， p(x) の一様列 I = {a_{i}}_{i<α} は次の条件が成立するとき， A_{0} 上 Morley 列とよばれる：

• 各 i < α に対して， tp(a_{i}/A_{i}) は A 上 fork しない．

ただし， A_{i} = A_{0} ∪ {a_{j} : j < α} である．（注意： p の A_{0} 上 Morley 列が存在するためには， p does not fork over A_{0} が必要である．）

Morley 列の存在を示すために，組み合わせ論の定理が必要になる：

Definition 30 κ,λ,μ は基数とする． λ → (κ)_{μ}^{n} ⟺ 任意の n 変数関数 f : λ^{n} → μ に対して， S ⊂ λ,α ∈ μ で次を満足するものがある：

• |S| = κ;

• i_{1}, ..., i_{n} ∈ S,i_{1} < ⋯ < i_{n} ⇒ f(i_{1}, ..., i_{n}) = α（一定）．

Remark 31 前述の Ramsey の定理は ω → (ω)_{m}^{n} とかける．

Lemma 32 （Erdös-Rado の定理） ℶ_{n}(λ) は帰納的に ℶ_{0}(λ) = λ, ℶ_{n+1}(λ) = 2^{ℶ_{n}(λ)} として定義される．（肩に２を n 個ならべたのが ℶ_{n}(λ) である．）このとき，

ℶ_{n}(λ)^{+} → (λ^{+})_{λ}^{n+1}

Proof. n = 0 の場合は明らか． n = 1 の場合に示す．それ以上の場合は帰納法を用いて同じアイディアで示される．

(2^{λ})^{+} → (λ^{+})_{λ}^{2}

を示せばよい．

f : (2^{λ})^{+} × (2^{λ})^{+} → λ

が与えられたとき，定義 30 にある S を求めればよい．

Claim 1 上昇列 {α_{i} : i < λ^{+}} ⊂ (2^{λ})^{+} で，各 i について，

∀S ∈ P_{≤λ}(α_{i}) ∀β ∈ (2^{λ})^{+} − α_{i} ∃γ ∈ α_{i+1} − α_{i} s.t. f_{β}|S = f_{γ}|S,

が成立するものがある．ただし f_{β}(x) = f(x, β).

実際， α_{i}(< λ^{+}) まで定義されたとき， S ⊂ α_{i} のとり方は 2^{λ} 通りしかなく， S を固定したとき， f_{β}|S の可能性も（f の値域が λ だから） 2^{λ} しかない，したがって，異なる f_{β}|S は 2^{λ} 個しかない． f_{β_{i}}|S_{i} （i < 2^{λ}）をそれら全体として， α_{i+1} を sup{β_{i} : i < 2^{λ}} とすればよい．明らかに α_{i+1} < (2^{λ})^{+} である．（極限 δ に対する α_{δ} は単にそれ以前の極限をとればよい．）（Claim 1 の証明終わり）

いま，

α^{∗} = sup{α_{i}}_{i<λ^{+}}

とすると， α^{∗} < (2^{λ})^{+} である．

上の Claim 1 を（β = α^{∗} として）繰り返し使うと， γ_{i} ∈ α_{i+1} − α_{i} （i < λ^{+}）で次を満たすものが存在する：

f_{α^{∗}}|S_{i} = f_{γ_{i}}|S_{i},

ただし， S_{i} = {γ_{j} : j < i} である． S^{∗} = {γ_{i}}_{i<λ^{+}} として，関数 f_{α^{∗}}|S^{∗} を考えると，値は λ 個の可能性しかないので，濃度 λ^{+} の集合 S ⊂ S^{∗} 上で値は一定 α となる．

Claim 2 S が求める集合である． (f が一定の値 α となる集合）

γ_{j}, γ_{i} ∈ S とする． γ_{j} < γ_{i} とすれば， j < i < λ^{+} である．したがって，

f(γ_{j}, γ_{i}) = f_{γ_{i}}(γ_{j}) = f_{α^{∗}}(γ_{j}) = α

を得る．

Proposition 33 （Morley 列の存在） A_{0} ⊂ A, p(x) ∈ S(A) として， p(x) が A_{0} 上 fork しないと仮定する．このとき， p(x) の A_{0} 上の Morley 列が存在する．

Proof. κ = |S(A)| として，各 i < κ^{+} に対して， I_{i} = (a_{j})_{j<ℶ_{i}(κ)^{+}} を p(x) の解からなる列で，各 j < ℶ_{i}(κ)^{+} で，

tp(a_{j}/A_{j}) は A_{0} 上 fork しない，

という条件を満たすものとする，ただし A_{j} = A_{0} ∪ {a_{k}}_{k<j}．（Nonforking extension の存在定理によりこのような列は存在する．）次に I_{i}^{0} = I_{i}， q_{0} = p として， {I_{i}^{n}}_{i<κ^{+}} と q_{n}(x_{0}, ⋯, x_{n}) ∈ S(A) を以下の条件を満たすように， n に関する帰納法で定義してゆく．

1. I_{i}^{n} はいずれかの I_{j}^{n−1} の部分列；

2. |I_{i}^{n}| ≥ ℶ_{i}(κ)^{+};

3. b_{0}, ..., b_{n} が I_{i}^{n} の部分列ならば tp(b_{0}, ..., b_{n}/A) = q_{n} （i によらず一定） . n まで定義されたとする．帰納法の仮定により，

|I_{i+n}^{n}| ≥ ℶ_{n}(ℶ_{i}(κ))^{+}

に注意すれば， Erdös-Rado の定理により，長さが ℶ_{i}(κ)^{+} の部分列 J_{i} ⊂ I_{i+n}^{n} で長さ n + 1 の部分列はすべて同じタイプ＝ p_{i} になるものをとることができる．次に， {J_{i}}_{i<κ^{+}} の部分列 {I_{i}^{n+1}}_{i<κ^{+}} をさらにとることにより， p_{i} が一定（これを q_{n}）とすることができる．

以上の構成 (1,3) から， x_{i} (i < α) を自由変数として，

⋃{q_{n}(x_{i_{1}}, ..., x_{i_{n}}) : n < ω, i_{1} < ⋯ < i_{n} < α}

は有限充足的になることがわかる．したがって，その解 J = (b_{i})_{i<α} が存在する．明らかにこれは A 上の一様列になり，さらに条件１と I_{i} のとり方から，各 i < α に対して，

tp(a_{i}/A_{i}) は A_{0} 上 fork しない，

を満たしている．これは J が p(x) の A_{0} 上の Morley 列になっていることを示す．

5 Forking の基本性質

T は単純な完全理論である．

Theorem 34 （Dividing と Forking の同値性）論理式 φ(x, a) に関する以下の条件は同値である：

1. φ(x, a) forks over A;

2. φ(x, a) divides over A;

3. tp(a/A) の適当な Morley 列 {a_{i} : i < ω} で次を満たすものが存在する： (*) {φ(x, a_{i}) : i < ω} は解を持たない．

4. 3 で「適当」を「任意」に替えたもの，

Proof. Morley 列の存在はすでに示してあるので， 4 → 3 → 2 → 1 は明らかである．

2 → 4: 2 だが 4 でないとして矛盾（単純性に反すること）を導く：４でないことから， tp(a/A) の Morley 列 I{a_{i} : i < ω} で {φ(x, a_{i}) : i < ω} が充足的になるものがある．一方２を仮定しているので， tp(a/A) の一様列 J を選んで，

(**){φ(x, b) : b ∈ J} が解を持たない（k-inconsistent）

とできる． J の最初の元は a_{0} だと仮定できる． Morley 列の定義から， q_{a_{0}}(x) = tp(a_{1}/A ∪ {a_{0}}) は A 上 fork しない，よって A 上 divide もしない．したがって， ⋃_{b∈J} q_{b}(x) は解を持つ． J を適当に動かしておくことにより，その解は a_{1} だと仮定できる．すなわち， J の元はどれも a_{1} 上同じタイプを持っている（さらに J は a_{1} 上の一様列とも仮定できる）．以下，同様の議論をすることにより， J は a_{1}, a_{2}, ⋯ 上一様列になっていると仮定できる．これと，条件 (**)，さらに単純性（順序数値 D-rank の存在）を考慮すると，

D(Φ_{0}(x), φ(x, y), k) < D(Φ_{1}(x), φ(x, y), k) = D(Φ_{0}(x), φ(x, y), k)

でなければならない．ただし Φ_{n}(x) = {φ(x, a_{i}) : n ≤ i < ω} である．これは明らかに矛盾である．

1 → 2: φ(x, a) が fork していると仮定して， ψ_{i}(x, b) （i = 1, ..., n）を A 上 divide する formula による φ(x, a) のカバーとする． a は b の部分列になっていると仮定して構わない．いま I を tp(b/A) の Morley 列とすれば，２と４の同値性により，各 {ψ_{i}(x, d) : d ∈ I} は充足的でない． I が無限なことから，

{⋁_{i≤n} ψ_{i}(x, d) : d ∈ J}

も充足的にはなりえない．いま J′ は J の各元を a に対応する部分に制限した tp(a/A) の一様列とすれば， {φ(x, e) : e ∈ J′} も充足的にはならないことがわかる．

Exercise 35 L(A)-論理式は A 上 divide （fork）しないことを示せ．

Definition 36 （独立概念）

1. tp(a/A ∪ B) が A 上 fork しないとき， a と B は A 上独立であるといい，記号で a ↓_{A} B とかく．

2. a が必ずしも有限でないときは， a ↓_{A} B ⟺ a の任意の有限部分列 a_{0} に対して a_{0} ↓_{A} B.

Remark 37 独立性の定義と foking (dividing) の定義から B ↓_{A} C ⟺ B_{0} ↓_{A} C_{0} (∀B_{0} ⊂_{fin} B∀C_{0} ⊂_{fin} C) が成立する．

Theorem 38 （対称性） a ↓_{A} b ⟺ b ↓_{A} a.

Proof. 左辺を仮定する． tp(a/A ∪ {b}) が A 上 fork しないから， Morley 列の存在定理により， tp(a/A ∪ {b}) の A 上 Morley 列 I = (a_{i})_{i<ω} が存在する．このとき，次が簡単に確かめられる：

• I は tp(a/A) の Morley 列にもなっている．

• 任意の φ(x, b) ∈ tp(a/A ∪ {b}) に対して， φ(a_{i}, b) が成立する．よって特に {φ(a_{i}.y) : i ∈ ω} は充足的である．

定理 34により tp(b/A ∪ {a_{i}}) が A 上 fork しないことがわかる．

Definition 39 B ⊃ A, p(x) ∈ S(B), q(x) ∈ S(A) とする．

p(x) ⊃_{nf} q(x) ⟺ \{ \begin{matrix}p(x) ⊃ q(x), \\ p(x) は A 上 fork しない． \end{matrix}

Theorem 40 （推移性） 1. p(x) ⊃ q(x) ⊃ r(x) とするとき，

p(x) ⊃_{nf} r(x) ⟺ p(x) ⊃_{nf} q(x) ⊃_{nf} r(x)

2. A ⊂ B ⊂ C のとき，

a ↓_{A} C ⟺ a ↓_{A} B かつ a ↓_{B} C

２は書換にすぎないので，１だけ示す． ⇒ は明らか． A ⊂ B ⊂ C として， tp(a/C) ⊃_{nf} tp(a/B) ⊃_{nf} tp(a/A) を仮定する．対象性により， p_{a}(X) = tp(C/A∪ {a}) が A 上 fork しないことを示せばよい． I = (a_{i})_{i∈ω} を tp(a/A) の一様列とする． a_{0} = a としてよい． q_{a}(Y) = tp(B/A ∪ {a}) が A 上 fork しないことから，

⋃_{i∈ω} q_{a_{i}}(Y)

は充足的である．その解を B′ とする． I は A ∪ {a} 上適当に動かしておくことにより（これでも結論は変化しない）， B′ = B でなおかつ I は B 上の一様列と仮定できる． r_{a}(X) = tp(C/B ∪ {a}) が B 上 fork しないことから， ⋃_{b∈I} r_{b}(X) は充足的．よってその部分である ⋃_{b∈I} p_{b}(X) も充足的になる．

Exercise 41 1. a ↓_{A} b, {a, b} ↓_{A} B, A ⊂ B ならば a ↓_{B} b となることを示せ． 2. I = (a_{i})_{i<α} が各 i < α に対して，

tp(a_{i}/A_{i}) ⊃_{nf} tp(a_{i}/A)

を満たしているとする．ただし A_{i} = A ∪ {a_{j} : j < i}．このとき， I は A 上独立になることを示せ．

3. 列 I が A 上独立で，列 J も A 上独立とする．もし I ↓_{A} J ならば列 I J は A 上独立となることを示せ．

6 融合定理

ここでも T は単純な完全理論である．

Definition 42 1. Σ(x) を論理式の集合とする． Σ(x) がモデル M で有限充足的とは， Σ(x) の任意の有限部分集合に対して，その解となる元が M に存在することとする．（注意： Σ(x) は L(M)-論理式の集合でないかも知れない．）

2. p(x) ∈ S(M), q(x) ∈ S(A), A ⊃ M とする． q(x) が p(x) の coheir であるとは次の２条件が成り立つこととする： (1) q ⊃ p, (2) q は M で有限充足的である．

Remark 43 1. q ⊃ q′ ⊃ p において， q が p の coheir ならば， q′ も p の coheir

になる．

2. Σ(x) が A ⊃ M 上の論理式の集合で， M で有限充足的になっているとする．このとき， Σ(x) は有限充足性を保ったまま S(A) の元に拡大される（演習問題）．

3. Σ(x) が M で有限充足的ならば Σ(x) は M 上 fork しない．（演習問題）

Lemma 44 p(x) ∈ S(M) とする． I = (a_{i})_{i<α} を p の解の列とする． p_{i}(x) = tp(a_{i}/M ∪ {a_{j} : j < i}) とおくとき，

1. p(x) = p_{0}(x) ⊂ p_{1}(x) ⊂ ⋯ （タイプの拡大列になる），

2. 各 p_{i}(x) は p(x) の coheir, を仮定すれば， I は p の一様列になる．

Proof. i_{1} < ⋯ < i_{n} < α, j_{1} < ⋯ < j_{n} < α に対して， tp(a_{i_{1}}, ..., a_{i_{n}}/M) = tp(a_{j_{1}}, ..., a_{j_{n}}/M) を示せばよい．簡単のために n = 3 でさらに次の特殊な場合を扱う．一般の場合に必要な議論はその中に含まれる．

主張 i < j_{1} < j_{2} < k のとき， tp(a_{i}, a_{j_{1}}, a_{k}/M) = tp(a_{i}, a_{j_{2}}, a_{k}/M) である．

もし，二つのタイプが一致しなければ，それは L(M)-論理式 φ(x, y, z) によって区別されている：

φ(a_{i}, a_{j_{1}}, a_{k}) ∧ ¬φ(a_{i}, a_{j_{2}}, a_{k})

が成り立つとする．よって， φ(a_{i}, a_{j_{1}}, z) ∧ ¬φ(a_{i}, a_{j_{2}}, z) ∈ p_{k}(z) である．条件２により， b ∈ M で，

φ(a_{i}, a_{j_{1}}, b) ∧ ¬φ(a_{i}, a_{j_{2}}, b)

を成り立たせるものがある．したがって， φ(a_{i}, y, b) ∈ p_{j_{1}} かつ ¬φ(a_{i}, y, b) ∈ p_{j_{2}} である．これは， p_{j_{1}} ⊂ p_{j_{2}} （条件１）に反する．

Remark 45 1. 上の補題の I は Morley 列になる．モデル上のタイプの Morley 列の存在は以上に見たように簡単である．一般の集合の上のタイプに対しては， Erdös-Rado の定理が必要になる．

2. p(x) ∈ S(M) とする．また tp(a/A) を p の coheir とする．このとき b, d ∈ A に対して，

tp(b/M) = tp(d/M) ⇒ tp(a, b/M) = tp(a, d/M)

が成立する．証明はやさしい：右辺のタイプが異なれば，適当な L(M)-論理式 φ(x, y) で φ(a, b) ∧ ¬φ(a, d) が成立する．このとき， coheir の定義から， a を M の元でかえることができる．しかし，それは tp(b/M) ≠ tp(d/M) を意味する．矛盾．

Remark 46 φ(x, a) が A 上 fork しないとする．また I = (a_{i})_{i<ω} を tp(a/A) の Morley 列とする．このとき， {φ(x, a_{i}) : i < ω} は A 上 fork しない：（証明） {φ(x, a_{i}) : i < ω} は充足的である． b_{i} = a_{ni}, ..., a_{ni+(n−1)} とおけば， (b_{i})_{i} も Morey 列になる．したがって， {φ(x, a_{0}), ..., φ(x, a_{n})} は A 上 fork しない．

上の性質は I が単に tp(a/A) の一様列でも成立する． Lemma 47 φ(x, a) が A 上 fork しないとする．また I = (a_{i})_{i<ω} を tp(a/A) の一様列とする．このとき， {φ(x, a_{i}) : i < ω} は A 上 fork しない．

Proof. X = (x_{i})_{i<ω} として，タイプ p(X) = tp(I/A) を考える．各 i, j < ω に対して，新たな変数 x_{ij} を用意して， X_{i} = (x_{j}^{i})_{j<ω} （第 i 行） , Y_{j} = (x_{ij})_{i<ω} （第 j 列）とおく． Γ((Y_{j})_{j}) を次の条件とする：

(X_{i})_{i<ω} は p(X) の Morley 列である．

D-ランクを使うと，これらは論理式の集合としてかくことができる．また， Γ((Y_{j})_{j}) が subsequence property を持つことも簡単に示される．したがって，その解として，一様列 (B_{j})_{j}, B_{j} = (a_{ij})_{i<ω} をとれる． B_{0} = (a_{i0})_{i<ω} は tp(a/A) の Morley 列になるから， {φ(x,) : d ∈ B_{0}} は A 上 fork しない．このことと， (B_{i})_{i} が一様列になることを考えると，

⋃_{i∈ω}{φ(x, d) : d ∈ B_{i}}

が充足的になる．上の集合は

⋃_{i∈ω}{φ(x, d) : d ∈ A_{i}}

と書くことができる，このことと， (A_{i})_{i} が Morley 列になっていることを考えあわせると結論を得る．

Theorem 48 （融合定理） p_{a}(x) ∈ S(M ∪ {a}), q_{b}(x) ∈ S(M ∪ {b}) とする．また P (y) = tp(a/M), Q(z) = tp(b/M) とおく．このとき，次は同値である．

1. P の任意の解 a′， Q の任意の解 b′ に対して， a′ ↓_{M} b′ ならば， p_{a′}(x) ∪ q_{b′}(x) は M 上 fork しない．

2. P の解 a′， Q の解 b′ で， a ↓_{M} b でさらに， p_{a′}(x) ∪ q_{b′}(x) が M 上 fork しないものがある．

Proof. 2 ⇒ 1 だけを示せばよい． 2 だが１でないと仮定して矛盾を導く．このとき， a と M 上独立な Q の２つの解 b, c で，

• p_{a}(x) ∪ q_{b}(x) は M 上 fork しない；

• p_{a}(x) ∪ q_{c}(x) は M 上 fork する，

となるものが存在する． I = (b_{i})_{i∈ω} を b から始まる Q の一様列で Q_{i} = tp(b_{i}/M ∪ {b_{j} : j < i}) が Q の coheir の拡大列になるように構成されたものとする（補題 44 参照）． a ↓ b という条件から，補題 47 により，（I を M ∪ b 上動かすことにより，） tp(a, b/M) = tp(a, b_{i}/M) で a ↓_{M} I と仮定してもよい．同様に I′ = (c_{i})_{i∈ω} は I の M 上のコピーで， c から始まり I と同様の性質を持つものとする． N ⊃ M ∪I ∪I′ とする．次に Q^{∗}(x) ∈ S(N) を ⋃_{i} Q_{i} の拡大となる Q(x) の１つの coheir とする． Q^{∗} から始めて補題 44 によって Q^{∗} の解の列 (d_{i})_{i∈ω} をとる．このとき， 1. I J は M 上の Morley 列，

2. a ↓_{M} I J,

3. J は M ⋃{a} 上の一様列． 2 番めの性質は a ↓_{M} I と J ↓_{M} N による． tp(I/M) = tp(I′/M) と J が coheir による一様列なことを考慮すると，上の性質は I を I′ にかえても成り立つ（注意 45 参照）． J の元 d に対して， p_{a}(x) ∪ q_{d}(x) が M 上 fork するか否かで， I または I′ の都合のよい方をとり， I J または I′ J を作って考えることにより， Q の一様列 (e_{i})_{i∈Z} で以下を満たすものがとれる：

• (e_{i})_{i<0} は M ∪ {a} 上の一様列で， i < 0 では p_{a}(x) ∪ q_{e_{i}}(x) は M 上 fork する，また

• (e_{i})_{0≤i} も M ∪ {a} 上の一様列で， 0 ≤ i では p_{a}(x) ∪ q_{e_{i}}(x) は M 上 fork しない．

このことから， a の M 上のコピーたち (a_{i})_{i∈Z} をとって次を成立させることができる．

• p_{a_{i}}(x) ∪ q_{e_{j}}(x) は M 上 fork しない ⟺ i ≤ j

さらに a_{i} たちをとり直して，

• (a_{i}e_{i})_{i∈Z} は M 上の一様列

を仮定できる．このことは矛盾である： p_{a_{0}}(x) ∪ q_{e_{0}}(x) が fork しないから，補題 47 により， ⋃_{j<ω} p_{a_{j}}(x) ∪ q_{e_{j}}(x) も fork しない．したがってその部分である p_{a_{1}}(x) ∪ q_{e_{0}}(x) は M 上 fork してはならない．

Corollary 49 p(x) ∈ S(M), q_{i}(x) ∈ S(A_{i}) （i = 1, 2）とする．いま， 1. M ⊂ A_{i} (i = 1, 2), A_{1} ↓_{M} A_{2};

2. q_{i}(x) ⊃_{nf} p(x) (i = 1, 2) とすれば， q_{1},q_{2} の共通の nonforking extension が存在する．（∃q(x) s.t. q(x) ⊃_{nf} q_{1}(x) かつ q(x) ⊃_{nf} q_{2}(x).）

Proof. i = 1, 2に対して， q_{i}(x) = tp(a_{i}/A_{i})となるa_{i} をとる． A′_{2} をtp(a_{1}, A′_{2}/M) = tp(a_{2}, A_{2}) となるようにとれる．さらに A′_{2} ↓_{M∪{a_{1}}} A_{1} を仮定できる．このとき，

a_{1} ↓_{M} A_{1} ∪ A′_{2}, A_{1} ↓_{M} A′_{2}

が成立する．換言すれば， q′_{2}(x) を q_{2}(x) の中のパラメータ A_{2} を（A_{1} と独立な） A′_{2} で置き換えたタイプとすれば， q_{1}(x) ∪ q′_{2}(x) が M 上 fork しないことになる．したがって，融合定理により， q_{1}(x) ∪ q_{2}(x) も M 上 fork しないことになる．