CM-trivialityについて（Kikyo-san）

Zilber 予想は SM set(strongly minimal set) に関する予想で雑に言えば，すべての SM set は次のいずれかの形になるというものである：

1. 構造の（ほとんど）ないもの；

2. アーベル群（例えば (ℚ, +, 0)）に似たもの；

3. 体（(ℂ, +, ·, 0, 1)）に似たもの最初の二つは 1-based という範疇に属す．（感覚的には平面の構造 [(P, L, ∈) が入らないものが 1-based]）より詳しく述べれば，上の予想は

• 1-based でない SM set には体の構造が入ると言うことができる．しかし， Hrushovski は 1-based でない SM set を作った．すなわち， SM set は今まで知られているよりもかなり多くのものがあることになった．そこで SM set の分類に興味がわいてくる．一つの分類に CM-trivial というものがある．

• 構造が CM-trivial であるとは，「３次元空間」の構造（点，直線，平面集合， ∈,⊂）

が入らないことと定義する．（注意：平面の構造が入らなければ，空間の構造も入らないので， 1-based ⇒ CM-trivial である．）今まで知られている構造で例を示すと：

• Hrushovski の上の構造は CM-trivial;

• Baudisch の pure group (not 1-based, almost strongly minimal, 体が定義できない) は CM-trivial;

• Ikeda の例は CM-trivial.

Pillay はさらに階層 (n-ample) を作った．その階層では • 1-ample ↔ not 1-based;

• 2-ample ↔ not CM-trivial;

に対応している．（注意： m ≥ 2 に対する m-ample の階層が strict になっているかどうかはわかっていない．）正確な定義は

Definition 1 (1-ample) 1-ample とは次のような p (点の感じ) と l (線の感じ) が存在することである：

• acl(p) ∩ acl(l) = acl(∅) (in eq-sense);

• p and l are dependent (in forking sense).

Example 2 代数閉体が 1-ample である．

（証明） l = (a, b) を直線（直線 y = ax + b に必要なパラメータ）とする． l′ = (a′, b′) を l に対して generic な直線とする．このとき， a, b, a′, b′ は独立になっている． l と l′ の交点を p とする．定義の２番目の条件は明らかに成り立つ．１番目を証明する．簡単な計算から

l = (c, d), where c = \frac{b_{1} − b}{a − a_{1}} , d = ac + b = a_{1}c + b_{1}

であり，

dim(c, d, a) = dim(c, d, a_{1}) = 3

を得る．よって， a ≅_{acl(c,d)} a_{1}．さらに， b = d − ac, b_{1} = d − a_{1}c により，

(a, b) ≅_{acl(c,d)} (a_{1}, b_{1})

を得る．今 e ∈ acl(a, b) ∩ acl(c, d) (= acl(p) ∩ acl(l)) とすれば，上の同型から e ∈ acl(a_{1}, b_{1}) ∩ acl(c, d) にもなり， e ∈ acl(a, b) ∩ acl(a_{1}, b_{1}) = acl(∅) となる．

同じように，平面 P = (a, b, c) （z = ax + by + c)，直線 l: z = ax + by + c, y = dx + e，点 p: z = ax + by + c, y = dx + e, x = f で， ab, ..., f が独立のとき，

• acl(pP) ∩ acl(lP) = acl(P) （上の議論を P 上で行えばよい） ;

• acl(P) ∩ acl(l) = acl(∅);

• P ↓_{l} p;

• P ↓̸_{∅} p が言える．この性質を 2-ample （↔ ¬ CM-trivial）とよぶ．一般の定義は： Definition 3 n-ample とは，次のような a_{0}, ..., a_{n} が存在することである（a_{n} が点で a_{0} が一番高い次元の object を意味している）： A_{i} = (a_{j})_{j<i} として，

• acl(A_{i}, a_{i}) ∩ acl(A_{i}, a_{i+1}) = aclA_{i}, (i = 0, ..., n − 1);

• a_{n} ↓_{a_{i}} A_{i}, (i = 0, ..., n − 1);

• a_{n} ↓̸_{∅} a_{0}.