お茶会セミナー (10/16,2001)

”ARONSZAJN TREE について”

講演者原田真

Abstract. ω^{+}-Aronszajn tree が存在するという事実とその拡張, 2^{<κ} = κ なる regular κ に対して κ^{+}-Aronszajn tree が存在することはかつてより知られてきた. １９８７年には Todorčević が非常に”エレガント”な別証を発表しており, 原田氏はそれを紹介した.

1. Aronszajn tree とは？

κ を regular cardinal とする. 半順序集合 ⟨T, ≤⟩ が κ-Aronszajn tree であるとは, 次の (1) と (2) がいえることである .

(1)⟨T, ≤⟩ は κ-tree.

i.e. まず, 任意の x ∈ T に対して {y ∈ T |y < x} は T の整列部分集合であること. 各 x ∈ T に対してその高さを ordertype({y ∈ T |y < x}) とし , そして順序数 α 毎に高さ α の x ∈ T の全体, Lev_{α}(T) を考える. このとき T の高さ, すなわち Lev_{α}(T) = ∅ となる最小の α が κ であり, かつ ∀α < κ, |Lev_{α}(T)| < κ が成り立つこと.

(2)T は cofinal branch を持たない.

i.e. T の任意の線形順序的部分集合に対して, その濃度が κ より小さいこと.

2. Aronszajn tree の存在定理.

まず基本的事実として, ω-tree は cofinal branch をもつので Aronszajn tree にはならないことをあげておく. そして, Aronszajn による１９３４年の結果である :

Theorem 1. ω^{+}-Aronszajn tree は存在する.

１９４９年, Specker は次のように拡張している :

Theorem 2. 2^{<κ} = κ なる regular κ に対して, κ^{+}-Aronszajn tree が存在する.

Proof. (Todorčević による.) 各 β < κ^{+} に対して, C_{β} を β の club で ordertype≤ κ を持つようにとる. β :successor のときは C_{β} = {β} ととる.

ρ_{β} : β ⟶^{<ω} [P(β)]

を次のように定める. 各 α < β に対して β_{0}^{α} = β から始めて, β_{i+1}^{α} =min(C_{β_{i}^{α}} − α) < β_{i}^{α} と決めていく. α 以上のところでの降下列なので n < ω がとれて β_{n}^{α} = α とできる. ここで,

ρ_{β}(α) = ⟨C_{β_{i}^{α}} ∩ α|i < n⟩

とする. これらの性質ついては次の 3 点に注目する :

(1) ξ < α < β < κ^{+} ならば, j ≤domρ_{β}(α) が一意にとれて ∀i ≤ j, β_{i}^{ξ} = β_{i}^{α} かつ ξ ≤ β_{j+1}^{ξ} < α ≤ β_{j+1}^{α} となる.

(2) ξ < α < β < κ^{+} で domρ_{β}(ξ) = domρ_{β}(α) = n ならば, ある j < n に対して C_{β_{j}^{ξ}} ∩ ξ ⊊ C_{β_{j}^{α}} ∩ α となる.

(3) α < β < γ で ρ_{β}(α) = ρ_{γ}(α) ならば, ρ_{β} ↾ α = ρ_{γ} ↾ α となる.

T = {ρ_{β} ↾ α|α ≤ β < κ^{+}}

とすると ⟨T, ⊆⟩ が求める κ^{+}-Aronszajn tree である.

References

[1] K.Kunen, Set Theory,An Intoroduction to Independence Proofs, Elsevier Science B.V, 1980, pp.68-71.

[2] A.Kanamori (渕野昌訳), 巨大基数の集合論, Springer-Verlag Tokyo, 1998, pp.90-92.

[3] S.Todorčević, Partitioning pairs of countable ordinals, Acta Math. 159 (1987), 261-294.

(ノート作成宇佐美康之)