９月１２日のお茶会では Francis Oger 氏がタイリングのモデル論的扱いにつて話されました。タイリングとは R^{n} を有限種類の’ タイル’(R^{n} の部分集

合で内部が連結、境界には’ 色’ がついている) で覆うことで、次の条件を満たす。

1. タイル達は境界以外の点を共有しない。しかも、共有される点はどのタイルでも同じ色である。

2. 全ての辺は複数のタイルに共有される。

3. 各タイルは、有限個のタイルのどれかから平行移動により得られたものである

patch とは辺で接するタイルの集まりで空間全体を覆わなくてもよい。より正確にはタイルの定義で「全ての辺が」 2 つのタイルに共有されるとなっているところを (１) 内部の点を含む辺は 2 つのタイルに共有される (2) 内部がつながっている、としたものがパッチの定義である。

タイリングをモデル理論的に解釈するには辺を点とし各種類のタイルに R_{e_{1}···e_{s}}(s は辺の数) を対応させ e_{1} ⋯ e_{s} が R の辺であると解釈する。

Definition 1 一般の構造 MN について次のように定義する。 xy ∈ M について

• – d(x, y) = 0 ⇔ x = y – d(x, y) ≤ 1 ⇔^{∃}R^{∃}z_{1} ⋯ z_{s} s.t.M ⊧ R⌊z_{1} ⋯ z_{n}⌋ かつ xy ∈ {z_{1} ⋯ z_{n}} – 以下帰納的に定義する

• x の r-球 B_{r}(x) とは x からの距離が r 未満の点全体である。

Definition 2 M, N が locally equivalent であるとは各自然数 r と各 z ∈ M ∩ N について B(z, r) のコピーが M,N で同数、またはともに無限個あることをいう。

このように定義したとき次が言える。

Fact 3 P, Q をタイリング、 M, N をそれらに対応する構造とするとき， M, N が locally equivalent であることと P, Q が含む有界な patches が一致することは同値である

Theorem 4 L: finite relational language M, N:locallyfinite な L-構造とする。このとき。 M と N が elementarily equivalent であることと、それらが locally

equivalent であることは同値になる。 Corollary 5 1. P, Q をタイリングとする。 P, Q に対応する L-構造達が

elementarily equivalent になることと P, Q が持つ有界な patch 達が一致することは同値である。

2. m, n を tiling(の空でない disjoint union) とする。このとき、対応する L-構造達が elemntarily equivalent になることは各有界な patchE について、 M と N が E のコピーを

• 同じ個数含む

• 共に無限個含むのいずれかが成り立つことと同値である。

定理の証明

M, N が locally equivalent であればそれらが elementarily equivalent であることを示す。それには次のことを示せばよい。 (以下の B_{r}(x̄) とは ⋃_{x∈x̄} B_{r}(x) のことである。)

Claim 1 φ ： B_{3^{r+1}}(x̄) ⟶ B_{3^{r+1}}(x̄) が φ(X) = Y かつ φ(B_{3^{r+1}}(x̄)) = B_{3^{r+1}}(x̄) を満たす同形写像ならば、任意の a ∈ X(b ∈ Y) についてある

b ∈ Y (a ∈ X) と B_{3^{r}}(x̄) 上φ と一致するψ が存在して ψ(a) = b、 B_{r^{3}}(x̄a) ≅^{ψ}

B_{r^{3}}(ȳb) かつψ(B_{3^{r}}(a)) = B_{3^{r}}(b)

証明 a ∈ X について示す。

Case1 a ∈ B_{2·3^{r}}(x̄). このとき、 B_{3^{r}}(a) ⊂ B_{3^{r+1}}(x̄) だから φ を B_{3^{r}}(x̄a) に制限したものを ψ とすればよい。

Case2 a ∉ B_{2·3^{r}}(x̄). このとき、 B_{3^{r}}(a) ∪ B_{3^{r}}(x̄) = ∅ である。仮定 locally equivalent より b ∈ B \ B_{3^{r}}(ȳ) が存在して B_{3^{r}}(a) ≅ B_{3^{r}}(b). この同形

を ψ_{1}, ψ_{2} = φ|B_{3^{r}}(x̄) とすると ψ = ψ_{1} ∪ ψ_{2} が求める写像である。

(ノート作成：矢野雅彦)