ここでは、お茶会で取り上げられた話題を紹介します。今回の講演者は岡本圭史氏、タイトルは体のモデル理論です。代数閉体のクラスとモデル論的なクラスの包含関係についての問題がいくつか紹介されました。

1 安定性のクラスと代数的閉体のクラス

Definition 1 K を体とする。 K 上の既約な多変数多項式 f(\overline{X}) が、 K を含む任意の体 L に関して、 L 上既約であるとき、 f(\overline{X}) は絶対既約という。また、 K 上の任意の絶対既約多項式 f(\overline{X}) が K に解をもつとき、 K は pseudo-algebraically closed (PAC) であるという。

絶対既約多項式は自明なものを除き１変数にはならない。なぜなら、１変数多項式は代数閉体上で可約になる。

Fact 2 1. Separably closed fields are PAC.

2. Locally finite fields are PAC.

3. (Ax) Ultraproducts of finite fields are PAC.

4. (Ershov) If K is any field, then there is a PAC field which is a regular extension of K.

いま、代数閉体と分離閉体の公理が一階の論理式で書けることはすぐ分かる。実は、 PAC な体の公理も [4] から一階の論理式で書けることが分かる。 (簡単にいうと、任意の拡大体で既約と言うことは、実は高々有限拡大で既約になることと同値となる。したがって、絶対既約であることは、有限でかくことができる。 )

Theorem 3 1. Separably fields are algebraically closed fields.

2. Algebraically closed fields are strongly minimal.

3. (Ershov) Separably closed fields are stable. (they are superstable if and only if they are algebraically closed.)

Question 4 1. Is a stable field separably closed?

2. Is a superstable field pseudo-algebraically closed?

図 1: 各クラスの関係図

PAC field  ↔^{?} Supersimple field

∪

Separably closed field \underrightarrow{←^{?}}  Stable field
∪  ∪
Algebraically close fied ⇔ Superstable field

Question 4 .1 ( Theorem 3.3 の逆 ) については、以下の定理 5 から「stable field が PAC である」ことを示せば十分である。 Theorem 5 (Duret) A field which is PAC but not separably closed has the independence property, and hence is unstable. In particular a stable infinite locally finite field is algebraically closed.

2 Minimal Fields

Definition 6 M を構造とする。任意の L(M)-論理式 ϕ(x, m̄) に対して、 ϕ^{M}(x, m̄) または ¬ϕ^{M}(x, m̄) が有限になるとき、 M を minimal であるという。

Theorem 7 (Wagner) 正標数の minimal な体は代数閉体になる。

Lemma 8 K を正標数で、すべての infinite な ∃∀-definable set が co-finite な体とすると、 K は代数閉体である。

つまり、正標数のとき、 minimal な体のクラスと代数閉体のクラスは一致する。

Question 9 ( 標数０の )minimal な体は代数閉体か？

また、さらに強い予想として以下の Question 11 がある。 (minimal ならば almost algebraically closed field (Def 10 ) になることが分かる。実際、 non-constant な多項式の image は infinite なので、 minimal ならば、 co-finite になる。 )

Definition 10 A field K is almost algebraically closed field if every non-constant polynominal function over K has co-finite image.

Question 11 (Reineke) Almost algebraically closed な体は代数閉体か ?

図 2: 各クラスの関係図

Algebraically closed field  ⇒ Storngly minimal field
⇓ ↑? ↖? ⇓
Almost algebraically closed field ⇐  Minimal field

参考文献

[1] Hodges, Wilfrid, Model Theory, Encyclopedia of mathematics and its applications 42, Cambridge

[2] Roman, Steven, Field Theory G.T.M,158, Springer-Verlag

[3] Wagner, Frank O, Minimal Fields, preprint

[4] Fried, Jardenk, Field Theory, Springer