線形代数II演習　2012年度2学期 水曜日5限

第1回(9/5)

今学期も始まりました。 なるべく毎週出席して少しずつ線形代数を理解していきましょう。

連立一次方程式に関する復習をしました。 写像、全射、単射について初めての演習でした。 皆さん理解するのに少し戸惑ったようで少し停滞しました。 大事なところなのでじっくり理解しましょう。 線形代数IIIでも全射、単射などもう一度行います。 また、私の2011年度の授業ページ（下の方） に図いりで全射、単射の解説もありますのでそちらもご覧ください。

[補足] 単射の定義は違う元が違う元に写される (x≠yならばf(x)≠f(y)) と定義しましたが、 実際単射を示すにはその対偶 (f(x)=f(y)ならばx=y) を使う方が便利です。 単射でないことは (f(x)=f(y)であり x≠y となるものを探す) 方針で行うとよいです。

今回は演習を集めませんでした。 来週までに、例題、問題をやって来てください。 問題2-2(2)は解きにくい（問題としてちょっと難しすぎるかも）なので できるところまでで結構です。

今回は2x2の場合にのみ行列式を定義しています。 レポートはそれを用いて計算してください。

第2回(9/12)

問題2-1はあみだくじを使って置換を（隣り合う）互換の積に書く問題ですが、 一般にあみだくじをこのように使わなくても互換の積に書くことができます。 （隣り合う互換にしなければならないわけではありません。この問題は教育的配慮からこのような指定が あります。） この問題の(1)は6,7は動かしませんから(隣り合わないものもの含めてよいなら)互換の 中に登場させる必要がありません。つまり、(1,2,3,4,5,8)の間の互換でそれぞれ (2,3,4,1,8,5) に移るものとしてしまえばよいことになります。

つまり、まず、置換を互いに交わらない巡回置換に書いておいて、それぞれを 互換の積に書いておけばよいのです。

互いに交わらない巡回置換とは、２つの巡回置換に対して、 現われる数字がかぶらないことをいいます。

長さがnの巡回置換とは巡回置換であってその数珠となった数字が n 個あることです。 例えば互換は長さが 2 。(1,3,2) 　(1→3→2→1となる巡回置換)は長さが3。 となります。

恒等変換は e で表します。

第3回(9/26)

今日は定義から行列式を計算することにこだわって教えました。 下記の 3x3 の場合を参照。 「...ィミフメイ。。。」と思った人も多かったと思いますが、定義から行列式を計算することで行列式はどんな原理でできているか分かったのではないでしょうか。 とにかくめんどくさい。と思った人もいるかもしれません。 やったことは、3x3 の場合に

ただ、このように計算すると nxn の時とても大変になります。（ご想像通り。） そこでいろいろと工夫してこれから行列式を計算する方法を学びます。 今日はその一つ、サラスの方法（ 3x3 の場合の行列式の万能公式です）を教えました。 計算方法は教科書にもありますし、授業の方でも教えている。 私も教えたのでここには書きません。 今日の授業では、何も分からなくても最低限サラスの方法だけでも覚えて下さい。

欲張りなこの授業は、他にも公式を教えました。

• ある行or列がスカラー k で割り切れる行列
• 一列目が (a₁,0,0,....,0) となっている行列

• 行列式は k 倍される
• a₁ されて一つ小さいサイズ（次数）の行列の行列式に帰着される

今回出した問題は教科書にある問題も含まれています。やってみてください。

3x3 行列の行列式を定義から計算すること。

第4回(10/3)

今日は行列式の効率のよい計算の実践練習をしました。 大事な公式は基本変形I,II、ベクトルの和、転置です。 基本変形IIIは和と基本変形Iを組み合わせれば出ますが、実践的なのは 基本変形II,IIIと留年の原理です。 これを組み合わせることで簡約化さえできれば、どんどん次数を下げていくことができます。

カンニングの原理と留年の原理の由来は 授業で説明しましたが下にも書きました。 行列式計算でたまに威力を発揮します。 ただし気付かず素通りしてしまうときもあります。 ちなみに２つの命名は飯高茂先生（学習院大学）の数学セミナー2012.9の記事から 勝手に拝借しました。 おそらく使っている人は少ないと思いますのでこれから広めていこうと思っています。 皆さんもどんどん使ってください。

カンニングの原理......同じ答案が見つかるとカンニングがばれてその試験が0点になってしまうように同じベクトルが行列内で見つかると行列式が0になってしまうこと。
留年の原理......0点（不可）の科目が多いと見かけ上3年次であっても実質的には2年次と同じこと、つまり留年してしまうように、ある成分をのぞいて0の行列の行列式は3次の行列式の計算も2次の行列式の計算と実質的に同じになってしまうこと。

第5回(10/10)

Ax=0 の非自明な解とは x≠0 となる解を意味する．

行列式が0かどうかは行列が正則であるかどうかの判定、 ベクトルが一次独立であるかどうかの判定、連立一次方程式 が非自明な解をもつかどうかの判定に関して 完全に答えを与えることができます．

上の条件の３つ目の条件は横ベクトルにしても同じです．

第6回(10/17)

余因子展開は行列を基本変形を使わなくても計算できる方法です．これを繰り返せば 留年の原理から次数をいくらでも小さくすることができます．

展開は授業では行ベクトルで行いましたが、列でも行えます．

第7回(10/24)

固有多項式を導入しました。固有多項式=0の解を固有値といいます． このとき得られるベクトルを固有ベクトルと言います． 定義は上に書いたとおり． 固有値や固有ベクトルは数学に限らず物理や化学など頻繁に登場します．（例えば固有振動、波動関数を固有関数展開、エネルギー準位など）． これ以降の詳しい数学の解説はこの続きの講義（線形代数続論）になります． ここではそれらの概念を定義して計算することができることが目標です．

外積を導入しました． 外積の性質は今までの行列式の性質から自然に導かれるのでよい演習になると思います． また、外積はベクトルの作る平行四辺形から作る面積を与えており、行列式の仲間と考えられます． 外積は多変数の微積分においてその面積要素としても登場します．

第8回(10/31)

今日のポイントは２点あります． 1つ目はハミルトン・ケイリーの定理は行列の固有多項式に A を代入した行列は零行列であることで、それを用いることで A の高いべきの計算が容易にできるようになることです．

2つ目は固有値と固有ベクトルを計算することで、行列の n 乗を計算することができることです． 詳しくは上の四角の中を見てください． とりあえず2x2行列の行列の n 乗で互いに固有値が異なる場合を解説しました．固有値を求めることはできますが、 固有ベクトルは連立一次方程式を解かなければならないので難しいですね． ただ、この場合2元連立1次方程式なのでそれほど手間にはならないと思います． 固有ベクトルの方向が決まります．

問題8-1(3)の訂正

問題8-2について

第9回(11/7)

小行列式の作り方を理解していない人はもう一度教科書で確認してください．

このように行列のサイズを小さくしながら小行列式を小さくして行って 0 でないものが現れないとするとその行列は零行列となる． このような行列の rank は 0 となる．

第10回(11/14)

第11回(11/21)

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