Differential Topology '20

4-manifolds, Knot concordance and homology theory

Japanese version

Place : Online (Zoom)
Date: 2020/9/2-3

Subject: Concordance of knot and link, Slice knot, 4-dimensional differential structure, Knot Floer homology, Khovanov homology

Registration of this conference

Speakers

• Yoshihiro Fukumoto(Ritsumeikan University)
• Taketo Sano(The University of Tokyo)
• Kouki Sato(The University of Tokyo)
• Masaki Taniguchi(Riken)
• Masaaki Ue
• Tadayuki Watanabe
• Tetsuya Abe(Ritumeikan University)

Schedule

Title and Abstract

• 9/2(Wed.)
  • (10 : 00-11 : 00) Tetsuya Abe
    Abstract
  • (11 : 10-12 : 10) Yoshihiro Fukumoto
    Abstract
  • (14 : 00-15 : 00) Masaaki Ue
    Abstract
• 9/3(Thu.)
  • (10 : 00-11 : 00) Masaki Taniguchi
    Abstract
  • (11 : 10-12 : 10) Kouki Sato
    Abstract
  • (14 : 00-15 : 00) Taketo Sano
    Abstract
  • (15 : 10-16 : 10) Tadayuki Watanabe
    Abstract

Title and Abstract

• Tatsuya Abe
  [Title]Conwayの仕事について
  [Abstract]今年亡くなったJohn Horton Conway (1937 – 2020) の結び目理論における仕事を概説する。 特に、結び目の数え上げ（Conway notation) について解説する。 Conway polynomialやConway spheresやConway knotの性質については軽く言及する予定である。
  [参考文献]：Conway, J. H, An Enumeration of Knots and Links, and Some of Their Algebraic Properties, 1970.
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• Masaki Taniguchi
  [Title]2次元結び目とYang-Millsゲージ理論について
  [Abstract]2次元結び目の研究は, 1925年のArtinの研究に始まり, 現在までの間に, その構成法, diagram, 不変量の様々な研究がなされてきた. 本講演では, Yang-Millsゲージ理論に現れるインスタントンFloer理論を用いて,「滑らかな2次元結び目のSeifert超曲面の位相型の複雑さ」と, 「結び目群の複雑さ」を結びつける. 例えば, 穴あきポアンカレ3球面をSeifert超曲面に持つ任意の滑らかな2次元結び目はその結び目群に少なくとも4つの既約SU(2)表現を持つ, ということが示される. この事実は, 位相的局所平坦埋め込みの圏では成立しない事実であり, 2次元結び目のC⁰とC^∞の差を明らかにするものである.
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• Masaaki Ue
  [Title]mu-bar invariants for plumbed 3-manifolds and involutive Heegaard Floer homology
  [Abstract]plumbed 3-manifoldに関する古典的不変量であるNeumann-Siebenmann不変量(mu-bar不変量）がコボルディズム不変かという 問題は，Seifert有理ホモロジー3球面に対してはかなり前からわかっていたが， Manolescuによる理論の登場以来かなり広い範囲 （almost rationalな場合など）についても正しいことがわかってきている （Dai, Stoffregen等による）．ここでは主として involutive Heegaard Floerホモロジーの観点からこれらの結果について概観する． 可能なら他の理論との関係についても考えたい．
• Kouki Sato
  [Title]Region-valued concordance invariant from Heegaard Floer homology
  [Abstract]Using the Heegaard Floer knot complex CFK^∞, we introduce a new concordance invariant G₀ whose value is a finite set of regions in R². From the invariant G₀, we can compute the Υ-invariant (which gives the τ-invariant and a Z^∞-valued surjective homomorphism on the knot concordance group) and the V_k-sequence (which gives all of the d-invariants of all Dehn surgeries). Moreover, we have an algorithm for computing G0. As an application, we have determined the Vk-sequences and Υ-invariants for all prime knots with up to 11 crossings. A part of this talk is joint work with Taketo Sano.
• Tadayuki Watanabe
  [Title]Theta-graph and 4-dimensional light bulb problem
  [Abstract]「4次元球面内に自明に埋め込まれた(n-1)次元球面のsmooth spanning n-disk(の相対アイソトピー類) は一意的か？ 」 という問題がある (4次元 light bulb問題)。David Gabaiは、この問題のn=2の場合を肯定的に解決した。 さらに、Ryan BudneyとGabaiは最近、embedding calculusを応用し、n=3の場合を否定的に解決した。 本講演では、Theta-グラフに沿った手術によって、Budney-Gabaiの反例とは独立な反例を与える。 Theta-グラフの反例は、S1× S3内のエキゾチックなS3の埋め込みを与えるという点で、Budney-Gabaiの反例と異なっている。 反例であること（非自明性）の証明には、Christine Lescopの"equivariant triple intersection"の4次元における類似物を用いる。 また、同様の方法を用いると、「5-twist-spun trefoilのsmooth Seifert曲面で、穴あきポアンカレ3球面と微分同相なものが (up to 相対アイソトピーで) 無限個存在し、それらは全て互いに相対ホモトピックである」ことが示される。
• Yoshihiro Fukumoto
  [Title]有理ホモロジー3球面のbounding genusと結び目のコンコーダンス
  [Abstract]Bounding genusは，整係数ホモロジー3球面のホモロジー同境不変量で， 松本幸夫氏によって，Rohlin不変量の核の「深さ」を測る一つの尺度として導入された． 閉スピン４次元軌道体に対する10/8-不等式を応用することで， Seifert整係数ホモロジー3球面の幾つかの無限系列に対するbounding genusを決定することができる． 本講演では，有理ホモロジー3球面に対してbounding genusを定式化し，Neumann-Siebenmann不変量による下界評価，splicing操作における振る舞いや，結び目のコンコーダンスについて考察する． 本研究は安部哲哉氏との共同研究である．
• Taketo Sano
  [Title]Fixing the functoriality of Khovanov homology: a simple approach
  [Abstract] Khovanov homology is functorial up to sign with respect to link cobordisms. The sign indeterminacy has been fixed by several authors, by extending the original theory both conceptually and algebraically. In this paper we propose an alternative approach: we stay in the classical setup and fix the functoriality by simply adjusting the signs of the morphisms associated to the Reidemeister moves and the Morse moves. https://arxiv.org/abs/2008.02131
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Organizers

Tetsuya Abe(Ritsumeikan University), Motoo Tange(University of Tsukuba)

Seminars